Тензоры. Что может быть проще? - страница 12

Каждый раз, когда имеешь дело с дуальными объектами, невольно задумываешься, чем обусловлена сама эта дуальность. Вспоминаются поговорки про две стороны одной медали и прочие народные премудрости. Не единая ли сущность предстала перед тобой в разных обликах? Что ж, многие знания – многие печали. И на наших новых дуальных знакомых, векторах и ковекторах, нам придётся посмотреть с этой же стороны. А значит, нам придётся опять творить, изощряться и выкручиваться, переводя на корректный и удобный математический язык новые наблюдательные данные.

А поразмыслить действительно есть над чем. Сегодня мы знаем, что по второму закону Ньютона сила является произведением импульса по времени. А значит, по нашей с вами уже установленной классификации сила должна являться вектором. Контравариантным объектом, как и скорость. Если вы решаете задачу о движении тела под действием силы тяжести, то вы можете её найти как производную импульса. Эта операция оставляет контравариантный объект контравариантным. С другой стороны, эту же самую силу можно найти как градиент некоего скалярного поля – гравитационного потенциала. Таким образом, сила предстаёт перед нами классическим ковектором. Но как же так? Не можем же мы приравнять вектор ковектору? Это совершенно разные объекты, хоть и дуальные.

Сила – вектор или ковектор?

Но такова жизнь, и так устроен мир. Придётся принять сей факт и как-то разбираться и с этим. Вышеописанные наблюдения заставляют нас признать следующее: такой объект, как сила, может быть описан и как вектор, и как ковектор. А значит, это единый объект, проявляющий в определённых обстоятельствах одни свойства, а в других – иные. Нам лишь остаётся смириться с этим и, апеллируя к философии дуальности, придумать, как вектору сопоставить ковариантные компоненты, а ковектору – контравариантные.

Что бы вы предприняли, обнаружив данную проблему, если бы были математиками-первооткрывателями? Иногда полезно самостоятельно попробовать решить проблему и поиграть в первопроходца. Это очень сильно углубляет понимание, и полученные потом знания остаются с вами навсегда, становясь частью вас.

Итак, у нас есть объект, который имеет направление, но иногда при смене координатного базиса удлиняется, а иногда увеличивает плотность, сохраняя свою как бы длину. Как и то, и другое приписать нашему направленному куда-то нечту? В вопросе, как всегда, содержится часть ответа. Описанное свойство говорит о том, что такая штука, как сила, имеет и те, и другие компоненты. И ковариантные, и контравариантные компоненты. А компоненты – это что? Это всего лишь определённые проекции. Поэтому мы можем поступить так. Будем представлять силу в виде более привычной нам стрелки и попробуем спроецировать её на оси координат двумя разными способами, и посмотрим, как эти два типа проекций меняются при смене базиса.