, если двигаться вдоль этого направления?» В математике это называется производной по направлению.
Чтобы описать производную по направлению, математики заметили, что вектор можно отождествить с дифференциальным оператором, который действует на функции. Операторы дифференцирования по координатам представляют из себя частные производные. Это когда мы всё, что не является данной координатой, считаем константой. Эти операторы можно складывать и умножать на числа, как и обычные вектора. А значит, они тоже образуют структуру некоего линейного векторного пространства. Более того, как и вектор, каждый такой оператор отвечает определённому заданному пространству! Математики в таком случае говорят, что существует изоморфизм между векторами и дифференциальными операторами. Это как бы структуры-двойники, имеющие идентичные свойства, хоть и разную на первый взгляд природу.
Да, замена векторов на какие-то там дифференциальные операторы выносит мозг. Но нам на этом этапе очень важно понять, что операторы – это не прихоть, а необходимость, неизбежность и сама суть понятия вектора на многообразии! Бонусов от этого откровения множество. Это и инвариантность, так как операторы работают в любых координатах. И гибкость. Ведь их можно комбинировать с функциями и друг с другом. И, конечно же, измеримость – они напрямую связаны с наблюдаемыми величинами (скорости, ускорения, потоки). Стрелки – это прекрасная иллюстрация, но на искривлённых пространствах они «ломаются» без операторной алгебры. Дифференциальные операторы – это «мозг» векторов, который считает, дифференцирует и адаптируется к любой геометрии.
Если бы Ньютон изучал многообразия, он бы сказал: «Векторы – это дифференциальные операторы, и точка».
Вектора преподнесли нам сюрприз, оказавшись дифференциальными операторами. А как быть с ковекторами? Они ведь дуальны векторам, а значит, мы их можем встретить в уравнениях с частными производными для функции нескольких переменных. И действительно, после взгляда на такие уравнения нас осенит. Дифференциалы и ковекторные поля – это одно и то же! Давайте покрутим в голове этот факт и получше его осознаем.
Итак, вы помните, что дифференциалы – это небольшие изменения переменной, которые вы видите, например, под знаком интеграла. Взятие дифференциала – линейная операция. Обычно мы представляем, что символ дифференциала берёт переменную и даёт нам её бесконечно малое изменение. Но точно так же можно представить, что символ дифференциала берёт скалярное поле и выдаёт ковекторное поле! Поле – это когда в каждой точке пространства что-то задано (число, вектор, тензор) и может меняться от точки к точке. Скалярное поле – это пространство, где каждой точке соответствует скаляр. А ковекторное поле – это пространство, где каждой точке соответствует свой ковектор. Если у нас есть скалярное поле, то, как и раньше, мы можем построить ковекторное поле, задав кривые уровня данного скалярного поля. Кривые уровня – это кривые, на которых данная величина скалярного поля остаётся постоянной. Очень часто скалярные функции называют 0-формами, а их дифференциал – 1-формами.