Высшая математика. Шпаргалка - страница 9
Число А называется пределом последовательности {a>n}, если для ε > 0 существует такое натуральное число N, что при всех n > N |a>n– A| < ε. Обозначение предела последовательности:
Теорема. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Для подпоследовательностей справедливо:
1) если последовательность сходится к пределу А, то и ее подпоследовательность сходится к пределу А;
2) если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу и к нему же сходится исходная последовательность.
Теорема. Предел суммы (разности), произведения и частного равен сумме (разности), произведению и частному пределов, т. е., если
10. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Последовательность {а>n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого n a>n≤ M (a>n ≥ m). Число М (m) называется верхней (нижней) границей последовательности {a>n}.
Последовательность {а>n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Теорема. Последовательность {а>n} ограничена тогда и только тогда, когда существует число r > 0 такое, что |a>n| < r для всех n.
Теорема. Свойства ограниченности последовательности сверху, снизу и с двух сторон не нарушатся при отбрасывании (добавлении) конечного числа членов последовательности.
Теорема. Сумма двух ограниченных последовательностей есть ограниченная последовательность.
Последовательность {а>n} называется бесконечно малой, если для любого положительного ε существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a>n| < ε.
Последовательность {а>n} называется бесконечно большой, если для любого положительного Р существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a>n| < Р.
Предел бесконечно большой последовательности при n > ∞ равен ∞.
Бесконечно большая последовательность не ограничена и, следовательно, расходится.
Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей. Для того чтобы последовательность {