>2 равно четному числу,
p>2 тоже четное число. Однако если квадрат числа – четное число, значит, и само это число тоже четное (напомню, что квадрат – это число, умноженное само на себя, а при умножении нечетного числа на себя результат будет нечетным). Таким образом, мы доказали, что число
p – четное. Вспомним, что это значит, что
q должно быть нечетным: ведь у
p и
q нет общих делителей. Однако если
p четное число, значит, его можно записать в виде
p = 2
r, ведь у четного числа должен быть делитель 2. А следовательно, вышеуказанное уравнение
p>2 = 2
q>2 можно записать в виде (2
r)
>2 (мы просто заменили
p на 2
r), то есть поскольку (2
r)
>2= (2
r) × (2
r)] 4
r>2 = 2
q>2. Теперь разделим обе части равенства на 2 и получим 2
r>2 =
q>2. Однако из этого следует – по тем же логическим выкладкам, которые мы только что применяли, – что
q>2 – четное число (поскольку равно дважды повторенному другому числу), а следовательно, и
q – тоже четное число. Однако отметим, что выше мы доказали, что
q должно быть нечетным! Итак, мы пришли к очевидному логическому противоречию – доказали, что число должно быть и четным, и нечетным одновременно. Этот факт показывает, что наше первоначальное предположение – что существуют два целых числа
p и
q, отношение которых равно √2 – ложно, что и требовалось доказать. Числа вроде √2 – это новый вид чисел,
иррациональные числа.
Похожим способом можно доказать, что квадратный корень любого натурального числа, не являющегося полным квадратом (вроде 9 или 16), – иррациональное число. Числа вроде √3 и √5 – иррациональные.
Невозможно переоценить значимость открытия несоизмеримости и иррациональных чисел. До этого открытия математики предполагали, что если у вас есть любые два отрезка, один из которых длиннее другого, всегда можно найти какую-то меньшую единицу, чтобы измерить длины обоих отрезков и получить целое число этих единиц. Если, скажем, один отрезок длиной 21,37 дюймов, а второй – 11,475 дюймов, можно измерить оба в единицах в одну тысячную дюйма, и тогда в первом будет 21 370, а во втором – 11 475 таких единиц. Поэтому древние ученые были убеждены, что подобную общую единицу измерения можно найти всегда, надо только набраться терпения. Открытие несоизмеримости означает, что два отрезка прямой, находящиеся между собой в отношении золотого сечения (АС и СВ на рис. 2), диагональ и сторона квадрата или диагональ и сторона правильного пятиугольника не обладают такой общей единицей измерения, и найти ее невозможно. В 1988 году в журнале «