Обучался в 3-й Киевской военно-инженерной школе (1922 – 1926), которую окончил «первым по успеваемости», после чего служил в Нижнем Новгороде. Позднее окончил Военно-воздушную академию им. Н.Е. Жуковского «по авиационным двигателям и ракетной специальности» (1930 – 1933), то есть набрался кое каких ракетных знаний. После чего был направлен инженером в Реактивный научно-исследовательский институт (РНИИ, впоследствии был преобразован в НИИ-3), работал в отделе баллистических ракет. С 1936 года – начальник отдела по разработке жидкостных ракет. В ноябре 1937 года был назначен исполняющим обязанности, а с сентября 1938-го, после ареста ряда ведущих сотрудников занял должность главного инженера института.
В 1939 году сотрудниками института под руководством Костикова была создана и прошла испытания первая в истории надежная наземная система залпового огня реактивными снарядами. 19 февраля 1940 г. сотрудники института А.Костиков, И. Гвай и представитель Главного артиллерийского управления РККА В. Аборенков получили авторское свидетельство на её изобретение, ставшее основой для разработки будущей знаменитой «катюши». 17 июня 1941 г. Костиков продемонстрировал членам политбюро, правительства страны и руководства министерства обороны СССР работу установки залпового огня (УЗО), базировавшейся на автомобиле. За день до начала войны, 21.06.1941 г., И. Сталин принял решение о развертывании серийного производства реактивных снарядов М-13 и пусковой установки БМ-13 (УЗО) и о начале формирования соответствующих войсковых частей. Уже 14.07.1941 г. секретное советское оружие (УЗО) приняло боевое крещение под Оршей под командованием капитана И. Флерова. Результаты были ошеломляющими. Двумя сериями залпов «Катюш» была полностью разрушена железнодорожная станция Орша и переправа через р. Оршица. С этого участка фронта гитлеровцы вывезли три эшелона убитых и раненых. Не менее важным было и огромное деморализующее психологическое воздействие ракетного оружия на врага.
28 июля 1941 г. Президиум Верховного Совета СССР издал два указа о награждении создателей «катюши». Первым указом «за выдающиеся заслуги в деле изобретения и конструирования одного из видов вооружения, поднимающего боевую мощь Красной Армии» Костикову было присвоено звание Героя Социалистического Труда (под несчастливым № 13). Вторым указом орденами и медалями были награждены еще 12 инженеров, конструкторов и техников, в том числе орденом Ленина – соавторы Костикова по изобретению – И. Гвай и В. Аборенков. 11 апреля 1942 г. Костиков получил Сталинскую премию I степени в размере 25 тыс. руб., которые сдал в фонд обороны. Конструктору было присвоено звание генерал-майора инженерно-авиационной службы. В марте 1943 года Костиков был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР.