Вопрос, чем же пополняются результирующие отношения операций левого и правого внешнего соединения, вполне ожидаем. Кортежи одного отношения-операнда дополняются на схеме другого отношения-операнда Null-значениями.
Стоит заметить, что введенные таким образом операции левого и правого внешнего соединения являются производными операциями от операции внутреннего соединения.
Чтобы записать общие формулы для операций левого и правого внешнего соединений, проведем некоторые дополнительные построения.
Пусть нам даны два отношения r>1(S>1) и r>2(S>2) с различными схемами отношений S>1 и S>2, не пересекающимися друг с другом.
Так как мы уже оговаривали, что операции левого и правого внутреннего соединения являются производными, то мы можем получить следующие вспомогательные формулы для определения операции левого внешнего соединения:
1) r>3 (S>2 ∪ S>1) ≔ r>1(S>1) × >Pr>2(S>2);
r>3 (S>2 ∪ S>1) — это просто результат внутреннего соединения отношений r>1(S>1) и r>2(S>2). Левое внешнее соединение является производной операцией именно от операции внутреннего соединения, поэтому мы и начинаем наши построения с нее;
2) r>4(S>1) ≔ r>3(S>2∪S>1) [S>1];
Таким образом, с помощью унарной операции проекции, мы выделили все соединимые кортежи левого исходного отношения-операнда r>1(S>1). Результат обозначили r>4(S>1) для удобства применения;
3) r>5 (S>1) ≔ r>1(S>1) \ r>4(S>1);
Здесь r>1(S>1) — все кортежи левого исходного отношения-операнда, а r>4(S>1) – его же кортежи, только соединимые. Таким образом, при помощи бинарной операции разности, в отношении r>5(S>1) у нас получились все несоединимые кортежи левого отношения-операнда;
{∅(S>2)} — это новое отношение со схемой (S>2), содержащее всего один кортеж, причем составленный из Null-значений. Для удобства мы обозначили это отношение r>6(S>2);
5) r>7 (S>2 ∪ S>1) ≔ r>5(S>1) × r>6(S>2);
Здесь мы взяли полученные в пункте три, несоединимые кортежи левого отношения-операнда (r>5(S>1)) и дополнили их на схеме второго отношения-операнда S>2 Null-значениями, т. е. декартово умножили отношение, состоящее из этих самых несоединимых кортежей на отношение r>6(S>2), определенное в пункте четыре;
6) r>1(S1) →× >P r>2(S>2) ≔ (r>1 × >Pr>2) ∪ r>7 (S>2 ∪ S>1);
Это и есть левое внешнее соединение, полученное, как можно видеть, объединением декартового произведения исходных отношений-операндов