Статистика: учебное пособие - страница 28

Задача заключается в том, чтобы найти такие коэффициенты уравнения регрессии, чтобы ошибка была минимальной. Это достигается путем применения метода наименьших квадратов. Для нахождения значений неизвестных параметров приравняем частные производные по этим параметрам к нулю и после простейших преобразований получим систему уравнений.

Пусть связь между результатом и фактором выражается уравнением параболы второго порядка:

Y = a + b_>1 x+b_>2 x^>2, (1.36)

Миниминизируя сумму квадратов отклонений переменной от ее значений по уравнению, получим:

Для этого берутся частные производные Q по параметрам «а» и «b», которые приравниваются к нулю, и полученная система уравнений решается относительно параметров:

Проделав простейшие преобразования, получим систему из трех уравнений:

Далее задача сводится к решению этой системы нормальных уравнений.

Применим этот метод для определения степени влияния сроков посева на урожайность. Для расчетов используем табл. 12, из которой возьмем следующие данные: сроки посева и средние значения урожайности для каждого срока посева.

Таблица 12

Порядковые номера сроков посева можно рассматривать как кодированные значения Х. Причем

Средняя урожайность представлена таблицей значений:

Y_>1 = 16; Y_>2 = 18; Y_>3 = 18; Y_>4 = 17; Y_>5 = 15;

Теперь задача сводится к построению зависимости: Y = f(x).

Исходные данные для расчета зависимости Y = f(x) представлены в табл. 13.

Из табл. 13 видно, что с изменением сроков посева средняя урожайность сначала растет, а затем падает. Следовательно, существуют оптимальные сроки посева, при которых средняя урожайность максимальна.

Подобный процесс целесообразно описать уравнением параболы 2/го порядка:

Таблица 13

Y = a + b_>1x + b_>2 x^>2,

где a, b_>1, b_>2 – параметры, подлежащие определению.

Для нахождения параметров a, b_>1 и b_>2 необходимо решить систему нормальных уравнений.

Известно, что экстремальные точки функции Y = f (x) определяются из условия Y = f (x), где Y' – первая производная функции Y по переменной x.

Для выбранного вида функции:

Y = (a + b_>1x + b_>2 x^>2) = b_>1 + 2b_>2 x.

Откуда

Подставляя из табл. 13 значения (X_>i Y) в систему нормальных уравнений, получим:

5a + 15b_>1 + 55b– = 84;

15a + 55b_>1 + 225b_>2 = 249; (I)

55a + 225b_>1 + 979b_>2 = 897.

Система решается следующим образом:

1. Все уравнения делятся на коэффициенты при