Физика без камней в голове - страница 14

, то q» не является истинным только в том случае, когда p истинно, а q, тем не менее, не истинно. В дополнение к ранее указанным связкам, посредством которых из двух высказываний получается одно новое высказывание, используется связка «не», которая указана в третьем столбце ниже приведенной таблицы и читается как «не». Она обращает высказывание p в высказывание «не p».

Исчисление высказываний можно описать следующим образом. Из данных высказываний p, q, r, … можно с помощью связок строить новые высказывания. При этом необходимо соблюдать последовательность построения и, если необходимо, определить эту последовательность с использованием скобок. Относительно связки используется следующее правило: если за связкой непосредственно следует буква, то связка относится к этой букве; если же сразу после связки открываются скобки, то связка относится ко всему заключённому в скобки выражению.

В высказывании нас интересует, прежде всего, его истинностное значение, т.е. является оно истинным или ложным. Чтобы ответить на этот вопрос, нам ничего не надо знать о составляющих высказываниях, кроме их истинностных значений. Эта информация полностью определяет истинностное значение сложного высказывания. Для обозначения истины используется символ 1, а лжи – символ 0. Истинностное значение высказывания p обозначим через |p|. Тогда для любого p справедливо либо |p| = 0, либо | p| = 1. Для каждой связки можем составить истинностную таблицу, показывающую, когда высказывание, образованное посредством этой связки, истинно, а когда ложно:

Обозначения в столбцах: 1 и 2 – значения простых высказываний p и q; значения сложных высказываний: 3 – «не р», 4 – «p и q»; 5 – «p или q»; 6 – «если p, то q»; 7 – «p тогда и только тогда, когда q»; 8 – «ни p, ни q».

Слева в первом и втором столбцах выписаны все возможные комбинации пары высказываний p, q (т.е. комбинации «p ложно» и «p истинно» с «q ложно» и «q истинно»). Справа выписаны значения полученных высказываний в каждой из возможных комбинаций. В приведенной схеме есть ещё одна новая связка – «черта» в высказывании p∕ q, которое следует читать как: ни p, ни q (т.е. не p и не q). Это высказывание истинно только тогда, когда оба высказывания p и q ложны. Теперь можно определить истинностные значения более сложных комбинаций высказываний и строить для них истинностные таблицы. Если дано высказывание