а. Если отвлечься от содержательных терминов, входящих в эти рассуждения (таких как «Санкт-Петербург», «Киев», «севернее», «>» и остальных), и заменить их переменными, то мы сможем получить запись, выражающую только форму обоих рассуждений. Она будет выглядеть так:
а R b,
b R c,
следовательно, а R с.
Здесь буквы а, b и с обозначают объекты, R – отношение между объектами.
Имея дело с такой записью, которая принимает во внимание только форму рассуждения, легче обнаружить, что рассуждение, построенное по такой форме, не всегда будет верным. Например, пусть R обозначает отношение «любить», а = Саша, b = Маша, с = Вова. Нетрудно заметить, что из посылок «Саша любит Машу» и «Маша любит Вову» нельзя вывести заключение аналогично тому, как это делалось в двух предыдущих примерах. Соответственно, такая форма рассуждения не является универсально применимой. Для того чтобы сделать ее таковой, требуется наложить ограничения на отношение R.
В заключение обратим внимание на принципиальное различие понятий правильности и истинности.
Правильность – это свойство рассуждений, доказательств. Истинность – это свойство высказываний. Можно строить правильные рассуждения исходя из ложных посылок. Так, если в примере 1.2 вместо х, у, и z подставить такие числа, что одна из посылок этого примера окажется ложным высказыванием, например 3, 5 и 4 соответственно, то мы получим следующее рассуждение.
Пример 1.3
3 >5,
5 >4,
следовательно, 3 >4,
Оно хотя и выглядит довольно странно, да к тому же предлагает нам в качестве заключения ложное высказывание, тем не менее является примером формально правильного рассуждения, представленного в примере 1.2! Если же мы подставим в том же примере вместо z число 2, то наше рассуждение примет следующий вид.
Пример 1.4
3 >5,
5 >2,
следовательно, 3 >2.
На этот раз, по-прежнему имея одну ложную посылку, мы получаем истинное заключение. Но рассуждали мы в обоих случаях по одной и той же форме, которая правильна! Дело в том, что если мы внимательно прочитаем приведенное выше определение логического следования, то заметим, что оно требует, чтобы из истинных посылок следовали истинные заключения, но ничего не требует от ложных посылок! Иначе говоря, рассуждая правильно, но имея ложные посылки, мы можем прийти к любому результату, как истинному, так и ложному. Эта особенность была известна уже средневековым логикам и является проявлением важного закона классической логики, согласно которому из ложного высказывания следует любое высказывание.