В случае достаточно сложного текста следить за различением подобных двусмысленностей без наличия большой практики становится очень трудно, да и при наличии таковой возможны логические ошибки. Контекстную зависимость смысла слов естественного языка можно рассматривать, таким образом, как механизм, эффективно препятствующий возникновению подобных трудностей. Кроме того, в естественных языках существуют специальные средства для необходимых семиотических различений, имеющие грамматический (например, артикль) или прагматический характер.
Представляет интерес на нескольких примерах проанализировать с семиотической точки зрения функционирование формально-логических систем. Рассмотрим фрагмент текста работы Гильберта и Аккермана, в котором вводятся аксиомы узкого исчисления предикатов [Гильберт, Аккерман, 1947, с. 97].
«К этим аксиомам мы присоединим теперь в качестве второй группы две аксиомы для “все” и “существует”»:
e) (x) F (x)→F (y);
f) F (y) → (Ex) F (x).
Первая из этих аксиом означает «Если предикат F выполняется для всех x, то он выполняется также для любого y».
Вторая формула читается так: «Если предмет F выполняется для какого-нибудь y, то существует x, для которого выполняется F».
Этот текст особенно интересен по следующим причинам:
1. В нем вводятся аксиомы.
2. Поясняется их естественно-языковое содержание, т.е. вводится способ понимания знаковой системы.
По замыслу основателей математической логики «…чего удалось достичь благодаря языку формул в математике, то же должно быть получено с его помощью и в теоретической логике, а именно: точная научная трактовка ее предмета. Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т.д. находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении» [Гильберт, Аккерман, 1947, с. 17].
Именно поэтому особенно интересно сопоставить знаковое и словесное выражение для аксиом формальной системы.
Рассматривая приведенный выше фрагмент логического текста нетрудно заметить следующие его особенности:
знак F (y) в формулах e) и f) трактуется по-разному и имеет два смысла. В е) – F выполняется для любого y. В f) F выполняется для какого-нибудь y.
По-видимому, различение этих смыслов связано с местом F (y) в формулах – в одном случае – на месте консеквента, в другом – на месте антицедента. Различие в смысле, однако, очень велико и никак специально не оговорено.