Совершенно неясно, что имеется в виду в этих текстах под x и y. То ли это объекты, принадлежащие области индивидуумов, то ли это имена объектов, то ли имена ролей [Дорфман, Сергеев, 1983]. Неясно, различны ли объекты, обозначенные разными именами, а также какие из них потенциальны, а какие актуальны. По-видимому, х обозначает потенциальный объект, а y – актуальный.
Уже такой поверхностный анализ показывает, что чтение указанных формул предполагает определенный способ понимания формул, о котором в тексте ничего не говорится, хотя этот текст вводит аксиомы, т.е., обязан содержать интуитивно исчерпывающее описание способа понимания формул. Аналогичные примеры в [Гильберт, Аккерман, 1947] можно с легкостью умножить.
К сожалению, подобное пренебрежение семиотическими различениями и даже сознательная эксплуатация возникающих двусмысленностей заметно не только в «Основах теоретической логики» [Гильберт, Аккерман, 1947], являющейся одной из первых работ по математической логике.
В качестве другого примера рассмотрим язык SELF, предложенный Шмульяном для формализации феномена «самоописания», присутствующий в известном логическом «парадоксе лжеца» [Манин, 1979, с. 78].
«Алфавит SELF: E, * * (симметричные кавычки).
r (отношение ранга I); ¬)(отрицание).
Синтаксис SELF. К отмеченным выражениям принадлежат: ярлыки, экспонаты, формулы и имена.
Ярлык любого выражения Р – это *Р* (Р в кавычках).
Экспонат любого выражения Р – это Р *Р* («вещь с ярлыком»).
Формулы – это выражения вида r E… E *P* и ¬ r E … E *Р*.
Здесь Е стоит на К > 0 местах после r. Сокращенная запись:
r Е>к *Р* или ¬ r Е>к *Р*. Наконец, введем бинарное отношение на множестве всех выражений «быть именем». Оно определяется рекурсивно:
1. Ярлык Р является именем Р.
2. Если Р – имя Q, то ЕР – имя экспоната Q, т.е. имя выражения Q *Q*».
После этих определений утверждается, что «Е*Е* является одним из двух своих имен. Точно так же формула r Е* r Е говорит о самой себе» [Манин, 1979, с. 79]. Язык SELF представляется в семиотическом плане намного более продвинутым, чем формальный язык узкого исчисления предикатов. Он эксплицирует ряд семиотических различий, позволяющих описывать весьма тонкие логические конструкции.
Семиотический анализ приведенного текста, однако, немедленно выявляет тот факт, что символ Е в этом языке употреблен в двух совершенно различных смыслах: