5. Если р истинно, q – ложно.
Если р ложно, q – ложно.
В данном случае ложность q не зависит от истинности или ложности р, поэтому суждения являются независимыми.
6. Если р истинно, q – ложно.
Если р ложно, q – неопределенно.
В данном случае р и q считаются противоположными (контрарными): они не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными.
7. Если р истинно, q – неопределенно.
Если р ложно, q – истинно.
Здесь оба суждения не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными. Такие суждения называются субконтрарными (частично совпадающими).
8. Если р истинно, q – неопределенно.
Если р ложно, q – ложно.
В этом случае отношение р к q является обращением отношения из пункта 3. Суждение р здесь находится в отношении субъимпликации или является подчиненным подчиняющему суждению q.
9. Если р истинно, q – неопределенно.
Если р ложно, q – неопределенно.
Здесь суждения р и q также являются независимыми, поскольку истинностное значение р не детерминирует истинностное значение q.
Таким образом, существует семь различных типов логических связей между одним суждением или набором суждений и другим суждением или их набором. (Следует обратить внимание, что 1, 5 и 9 относятся к одному и тому же типу.) Суждения могут 1) быть эквивалентными, 2) находиться в отношении подчиняющего к подчиненному, 3) находиться в отношении подчиненного к подчиняющему, 4) быть независимыми, 5) субконтрарными, 6) противоположными или 7) противоречащими. Данные семь связей являются основополагающими логическими связями между суждениями, и любое рассуждение, в которое мы будем вдаваться в настоящей книге, может рассматриваться как иллюстрация одного из этих отношений. Полное понимание этих семи отношений позволит читателю получить обзорное представление о сфере распространения логики[24].
§ 2. Независимые суждения
Мы согласились называть два суждения независимыми, если истинностное значение одного из них никак не детерминирует или ограничивает истинностное значение другого. Таким образом, если бы мы исследовали вопрос о том, является ли истинным суждение «У Перикла было два сына», то нам не помогла бы истинность или ложность суждения «Герц открыл электрические волны». Когда одно суждение не является абсолютно никаким основанием для истинности или ложности другого, то такое суждение мы называем «нерелевантным» относительно последнего. Одной из обязанностей суда, равно как и любой другой рациональной процедуры, является отбрасывание всех нерелевантных показаний. Это, однако, не исключает того, что на определенном этапе мы можем узнать, что суждения, которые мы ранее считали независимыми, являются связанными опосредованным образом. До середины XVIII века никто не подозревал наличия связи между суждениями о громе и молнии, между суждениями о цвете перламутровой раковины и притягательной силе магнетита. Однако сегодня все эти суждения являются частью теории электромагнетизма. При этом формальная логика не дает гарантий относительно исчерпывающего знания тех или иных фактов. Логическая проверка на независимость заключается только в установлении того, может ли данное суждение быть а) истинным, Ь) ложным или с) сохранять неопределенное истинностное значение, независимо от того, является ли некоторое другое суждение истинным или ложным. Так, а) если суждение «угол отражения светового луча равен углу его падения» истинно, то оно будет независимым от истинности или ложности гипотезы «свет состоит из корпускул». Сходным образом, Ь) любое суждение, ложность которого может быть продемонстрирована, например, такое как «сумма двух углов треугольника меньше третьего угла», будет независимым от любого другого суждения, считающегося истинным или ложным, например, от суждения «через точку, лежащую вне прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной», с) Третий случай, когда суждение может быть независимым от другого суждения, показан на примере следующих суждений: «в XVIII веке величайший вклад в физику был сделан Англией» и «сэр Филип Сидни был автором «Писем Юниуса»».