§1. Мысли с потолка, ведущие к идее,
или Откуда что взялось?
…Забавное число – ноль. На что ни умножь – само же в результате и получается! Прямо загляденье:
0 × 0 = 0 × 1 = 0 × 2 = 0 × 10 = … = 0, т.е. 0 × a = 0 × 0
Однако, интересно, а будет ли выполняться равенство 0 × a = 0>2, если вместо нуля поставить произвольное число? Например, какое удвоенное число равно своему квадрату, то есть x × 2 = x>2? Или утроенное x × 3 = x>2?
Поставим задачу в общем виде: найти число, квадрат которого, равен произведению этого числа на конкретное данное число a. Построим модель: xx = ax или x>2 = ax.
Так как мы ищем число, отличное от нуля, то, разделив обе части построенного равенства на x, получим, что x = a.
То есть, если удвоенное число равно своему квадрату, то это число 2, а если утроенное, то 3.
Можно этот факт запомнить – вдруг пригодится?..
…Инструктаж судьи на одном из этапов туристической эстафеты:
– Вам необходимо огородить участок прямоугольной формы, площадью 1 ар для стоянки. Дополнительные очки той команде, которая затратит как можно меньше страховочной верёвки. На старт, внимание, начали!
1 ар – это 100 квадратных метров. Участок может иметь размеры 20 × 5 или 25 × 4. Но наша команда знает, что наименьший периметр прямоугольника при его заданной площади будет в том случае, если он – квадрат (теперь и вы это помните!). Отлично! Значит необходимо найти сторону квадрата, если его площадь равна 100. Ну, это легко! Ещё с младших классов, благодаря большой вычислительной практике, помним, что число 10 умноженное на себя даёт сто.
Хорошо, что мы не на уроке математики, а то пришлось бы составлять уравнение x>2 = 100…
…Не так давно с нами эксперимент проводили: надо было из множества прямоугольников разнообразной формы выбрать один, который покажется самым приятным на вид. Многочисленные повторения этого опыта показали, что чаще всего люди выбирают те прямоугольники, стороны которого относятся как «золотая пропорция». Золотое (или гармоническое) сечение – это такое деление отрезка, при котором отношение всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей 1: x = x: (1 – x).
Если воспользоваться свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), то можно получить уравнение, чтобы найти длину большей части этого отрезка: