Квадратные уравнения. Часть 1 - страница 4
…В каком прямоугольном треугольнике стороны выражаются тремя последовательными натуральными числами?
Пусть n длина меньшего катета, тогда второй катет и гипотенуза выражаются как (n +1) и (n +2).
По теореме Пифагора все длины увязываем в уравнение:
Пифагорейцы исследовали фигурные числа, в частности, треугольные (их можно изобразить в виде треугольника).
Треугольное число с номером n можно найти как половину произведения n× (n+1). Для ответа на вопрос, является ли треугольным число 45 и если да, то каков его номер, надо решить уравнение n× (n+1) = 90…
Задумайте два натуральных числа от 1 до 20. Найдите их сумму и произведение. Сообщите мне. Я отгадаю задуманные вами числа. Вам интересно, как я это сделаю?..
§2. Кто есть кто,
или Определение квадратного уравнения
Квадратным называется уравнение вида ax>2 + bx + c = 0, где a, b, c – некоторые заданные действительные числа, причём a ≠ 0, а x принимается за неизвестное.
Числа a, b, c называют так:
a – старшим или первым коэффициентом,
b – вторым,
c – свободным или третьим1.
«Нумерация» коэффициентов зависит не от их реального месторасположения, а от того, при какой степени неизвестной они находятся. Например, число 2 будет первым коэффициентом в любом из трёх уравнений:
А вот число 5 в третьем уравнении является свободным коэффициентом, а в первом уравнении – вторым коэффициентом.
То есть первый (старший) коэффициент – это множитель при квадрате неизвестной, второй – при первой степени. Свободный (третий) коэффициент – это слагаемое без неизвестной, то есть «свободный от неизвестной».
Очевидно, что в качестве неизвестного необязательно брать букву x. Более того, привыкнув за школьные годы к этому неизменному обозначению, среднестатистический ученик начинает испытывать затруднения в восприятии (узнавании, интерпретации) квадратных уравнений, встречающихся при решении более сложных математических (физических и других) задач.
Собственно говоря, и коэффициенты квадратного уравнения не всегда могут обозначаться указанными выше буквами. Одним словом, квадратное уравнение имеет вполне определённую структуру, а как обозначаются элементы этой структуры – дело десятое. Человек со сложившимся математическим стилем мышления понимает, что квадратным уравнением будет являться любое равенство, в правой части которого стоит ноль, а в левой – сумма трёх слагаемых, одно из которых является произвольным числом, другое – произведением произвольного числа на первую степень неизвестного и третье – произведением ненулевого числа на вторую степень неизвестного.