Путешествие в квантовую механику - страница 3

, x_>2, x_>3, …, x_{>N``-1</sub> или x<sub>>N``} функциями f_>1 (x_>1), f_>2 (x_>2), f_>3 (x_>3), …, f_{>N``-1</sub> (x<sub>>N``-1}), либо f_{>N``</sub> (x<sub>>N``}), заданные параметры f_>1 (x_>1), f_>2 (x_>2), f_>3 (x_>3), …, f_{>N``-1</sub> (x<sub>>N``-1}), а также f_{>N``</sub> (x<sub>>N``}) надлежит перемножать между собой только в том случае, когда последние окажутся независимыми. Иначе говоря, приращение переменной f_>j (x_>j) по факту будет происходить без взаимного влияния её значений на другие выражения f_>o (x_>o) (o≠j). Запишем тождество (2.1) для нахождения произведения П_>j=1^{>N`</sup>`f_>j (x_>j)^{> γj}. Коэффициенты γ_>1, γ_>2, γ_>3, …, γ_>j, …, γ_{>N``</sub> будут численно равны константам (+1 или -1), представляющим из себя степени функций f<sub>>1</sub> (x<sub>>1</sub>)<sup>> γ1</sup>, f<sub>>2</sub> (x<sub>>2</sub>)<sup>> γ2</sup>, f<sub>>3</sub> (x<sub>>3</sub>)<sup>> γ3</sup>, …, f<sub>>j</sub> (x<sub>>j</sub>)<sup>> γj</sup>, …, f<sub>>N``} (x<sub>>N``</sub>)<sup>> γN``}, тогда:

здесь N`` – количество независимых параметров f<sub>>1</sub> (x<sub>>1</sub>), f<sub>>2</sub> (x<sub>>2</sub>), f<sub>>3</sub> (x<sub>>3</sub>), …, f<sub>>N``-1</sub> (x_{>N``-1</sub>) и f<sub>>N``} (x_>N``).

Наглядным примером применения эмпирического подхода на практике является закон Кулона, полученный для силы электростатического взаимодействия F_>e. Таким образом, следующие выражения (f_>1 (x_>1), f_>2 и f_>3 (x_>3)) могут быть сгруппированы друг с другом как независимые соотношения:

f_>1 (x_>1) – произведение зарядов q_>1q_>2;

f_>2 – поправочная постоянная K;

f_>3 (x_>3) – квадрат расстояния |r_>1-r_>2|^>2 между любыми 2-мя частицами, f_>3 (x_>3) =|r_>1-r_>2|^>2;

где r_>к – построенный из начала координат (0,0,0) в точку с зарядом q_>к радиус-вектор.

Хорошо известно, что сила Кулона F_>e прямо пропорциональна множителям f_>1 (x_>1) и f_>2 (γ_>1=γ_>2=1), но обратно пропорциональна переменной f_>3 (x_>3) (γ_>3=-1). Итак, прибегая к анализу экспериментальных данных, запишем закон Кулона, сформулированный для 2-х одноимённых зарядов q_>1 и q_>2, следовательно:

Если величины g_>j (x_>j) и g_>j` (x_>j) окажутся взаимно зависимыми, то справедливым будет тождество:

Функции f_>j (x_>j), g_>j (x_>j) и g_>j` (x_>j) могут носить более сложный математический характер, нежели степенные выражения f_>1 (x_>1)^{> γ1}, f_>2 (x_>2)^{> γ2}, f_>3 (x_>3)^{> γ3}, …, f_>j (x_>j)^{> γj}, …, f_{>N``</sub> (x<sub>>N``})^{> γN``}. Порой с помощью эмпирического метода нельзя описать тот или иной закон природы, тогда для реализации намеченных целей соискатели обычно составляют дифференциальные уравнения. Разрешить последние иногда бывает затруднительно по причине невысокой производительности современных компьютеров. В подобных случаях используют суперкомпьютеры. В дальнейшем мы сконцентрируемся на решении дифференциальных уравнений с частными производными.