Путешествие в квантовую механику - страница 4
3. К вопросу о разрешимости дифференциальных уравнений в частных производных
Опираясь на методику, которая будет разобрана в данном параграфе, можно численно решить любое дифференциальное уравнение и выявить характерные черты эволюции искомой функции во времени.
3.1 Интерполяция с помощью рядов Фурье
Допустим, что задан набор линейных функций F>k, расположенных на отрезках (kΔx, (k+1) Δx) вдоль оси x ∈ [0,R>x], тогда:
здесь Δx – размер интервалов, куда заключены значения выражений F>k; k – номер вычислительной операции, k∈N.
Тригонометрический ряд, который можно получить для функции F (x,y,z), задаваемой на отрезках (k Δx, (k+1) Δx) для x ∈ [0,R>x], (j Δy, (j+1) Δy) для y∈ [0,R>y] и (χ Δz, (χ+1) Δz) для z∈ [0,R>z], примет следующий вид:
где Θ – индекс, соответствующий той или иной оси координат x>Θ.
Построим кусочно-линейную функцию F (x), тогда:
Рисунок 3.1 Интерполяция величины F (x).
3.2 Решение дифференциальных уравнений с частными производными
Пусть Q``∈C является решением произвольно заданного дифференциального уравнения в частных производных. Введём обозначения для функций a*, b*. Значения рассматриваемых выражений будут соответствовать вещественной a*=Re (Q``) и мнимой b*=Im (Q``) части тождества Q``=a*+ib*. Для того чтобы численно решить вырожденное дифференциальное уравнение, необходимо с помощью метода Эйлера определить закон изменения функции Q`` во времени. Следует отметить, что рассматриваемый подход не является единственным в своём роде. Однако в рамках данной книги остановимся на нём как на простом и наиболее наглядном. Любое параболическое дифференциальное уравнение с частными производными возможно преобразовать к общему виду, тогда:
Разложим в ряд Фурье решение Q``, следовательно:
Определим частные производные порядка s>d по координате x>Λ, входящие в состав выражения D, тогда:
здесь n>Λ и R>Λ – коэффициенты при координате x>Λ.
Вместе с тем
Осуществим интерполяцию выражения D. Если рассматривается одномерный случай, то каждой точке, расположенной на оси D, необходимо поставить в соответствие отрезок (kΔx>Θ, (k+1) Δx>Θ), находящийся на оси x>Θ. Следовательно, в трёхмерном пространстве справедливым будет соотношение:
где x∈ [-R>x, R>x]; y∈ [-R>y, R>y]; z∈ [-R>z, R>z].
Определим частную производную решения Q`` по времени, тогда:
Последнюю формулу возможно преобразовать к виду: