Версия первая
В 1953 г. английский математик Джон И. Литлвуд (1885–1977) предложил следующий парадокс, известный теперь под названием «парадокс Росса – Литлвуда».
Перед входом в огромную пустую комнату выложен бесконечный ряд теннисных мячей, пронумерованных по порядку: 1, 2, 3, 4… Близится полночь. За тридцать секунд до 0:00 в комнату вносят мячи 1 и 2 и мяч номер 1 немедленно выносят из нее. За пятнадцать секунд (четверть минуты) до 0:00 в комнату вносят мячи 3 и 4, а мяч номер 2 выносят. За одну восьмую минуты до 0:00 в комнату вносят мячи 5 и 6, а мяч номер 3 выносят – и так далее. На языке математики мы бы сказали, что за (½)>n минуты до 0:00 в комнату вносят мячи 2n – 1 и 2n, а мяч номер n из нее выносят.
Спрашивается, сколько мячей будет в комнате ровно в 0:00?
Те, кто пытается ответить на этот вопрос, замечают, что возможных ответов существует два, и у обоих почти что поровну сторонников: бесконечно много или ни одного. Как такое может быть? Рассмотрим логические обоснования обоих ответов.
Бесконечно много. В конце процесса в комнате будет бесконечно много мячей, потому что на каждом из бесконечного количества этапов в ней прибавляется по одному мячу (два заносят в комнату, но один из нее выносят). Математики формулируют это утверждение так: для любого n можно точно определить момент, в который число мячей равно n + 1. Следовательно, в 0:00 в комнате окажется бесконечно много мячей.
Ни одного. В 0:00 в комнате не будет ни одного мяча, потому что для любого мяча можно точно указать момент, в который его выносят из комнаты. Мяч номер 1 выносят, когда часы показывают полминуты до полуночи, мяч номер 2 – за четверть минуты до полуночи и так далее. Говоря математическим языком, n-й мяч выносят из комнаты в точности за ½ в n-й степени минуты до полуночи.
Если бы на эту тему проводился опрос, за какой ответ проголосовали бы вы?
Здесь важно понимать – хотя согласиться с этой мыслью может быть немного трудно, – что количество моментов, остающихся до полуночи, бесконечно, потому что оставшийся промежуток всегда можно разделить на два.
Я бы сказал, что правильный ответ – «бесконечно много», и даже рискнул бы утверждать, что те, кто выбирает второй ответ, вероятно, не могут отрешиться от схемы конечных рассуждений. Их стремление узнать, сколько мячей окажется в комнате «в конце» процесса, похоже на стремление узнать, какие числа находятся «в конце» последовательности натуральных чисел, то есть «в конце» ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, 12 367, 12 368…