Математика шахматной доски - страница 5

Рисунок 11. Покрытие стороны косыми тетрамино

Такое же рассуждение можно провести и для прямоугольника любого другого размера.

Получилась важная вещь: необходимого условия вовсе не достаточно, чтобы утверждать, что разрезание возможно. Эту информацию можно донести до школьника и на более очевидном примере (я особенно люблю полоску 1×64), но иногда школьнику кажется, что если доска будет достаточно широкой, чтобы хотя бы одно полимино на неё поместилось, то никаких проблем с разрезанием он не встретит. Шахматная доска лучше подходит для развенчания этого мифа.

Увеличивать размер полимино бессмысленно, задачи по разрезанию от этого становятся проще и, как минимум, менее интересными. Зато достаточно любопытные вещи открываются, если вместо шахматной доски (8×8) в качестве базовой фигуры взять другой квадрат (или даже произвольный прямоугольник). Причём необязательно брать что-то большое. Достаточно квадрата 6×6.

Здесь увлекательно и достаточно содержательно обсудить возможность разбиения квадрата на тетрамино. Попытки нарисовать картинку приводят к тому, что возможно разбить на 9 квадратных тетрамино. На косые, как мы уже обсудили выше, нельзя разбить никакую доску. С остальными тоже не выходит: постоянно остаются хотя бы 4 свободные клетки. Младшие школьники пытаются сформулировать своё доказательство, по аналогии с делимостью площади: «раз всегда остаётся 4 клетки, значит разрезать нельзя». Однако, что значит «всегда»? Один, два раза, может быть пять раз попробовали нарисовать картинку? Это не аргумент.

Конечно, существует полный перебор (и для доски 6×6 он даже не вызывает острого желания воспользоваться помощью компьютера), но это не самое удовлетворительное решение. Как же быть?

Докажем, что доску 6×6 невозможно разделить на T-тетрамино. Для этого представим, что наша доска – часть обычной шахматной, то есть все её клетки покрашены в чёрный и белый цвета.

Рисунок 12. «Шахматная» доска 6×6

Заметим, что клеток каждого цвета на доске по 18, а каждое T-тетрамино, которое мы можем вырезать из неё содержит три клетки одного цвета и одну клетку другого.

Рисунок 13. T-тетрамино на шахматной доске

Заметим, что если мы сумели всю доску разрезать на T-тетрамино, то все 18 чёрных клеток как-то распределились по этим девяти фигуркам: и в каждую попало либо 1, либо 3 чёрных клетки. Однако сумма девяти слагаемых, каждое из которых нечётно, должна быть тоже нечётной, поэтому определённо не равна 18. Это означает, что желаемое разрезание невозможно.