Репетитор по математике. Алгебра - страница 10

Например:

6ab-2cb+9cd-27ad=2b (3a-c) +9d (c-3a) =2b (3a-c) -9d (3a-c) =

(3a-c) (2b-9d)

3 способ. С помощью формул сокращённого умножения.

Примеры.

9x^>2—1= (3x-1) (3x+1)

4x^>2+4x+1= (2x+1)^> 2

4 способ. Разложение квадратного трёхчлена ax^>2+bx+c=

=a (x-x_>1) (x-x_>2)

где x_>1 и x_>2-корни квадратного уравнения ax^>2+bx+c=0

О решении квадратных уравнений мы поговорим позже.

А сейчас просто проиллюстрируем данный способ

одним примером.

Пример.

2x^>2+13x-24=2 (x-3/2) (x+8) = (2x-3) (x+8)

Сначала решается квадратное уравнение

2x^>2 +13x -24 = 0 и находятся его корни x_>1=3/2, x_>2=-8

Потом по формуле делается разложение.

Как правило, при разложении многочлена приходится комбинировать вышеперечисленными способами, но начинать преобразования, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 36x^>3+24x+4x

Решение: Вынесем общий множитель 4x за скобки.

36x^>3+24x^>2+4x=4x (9x^>2+6x+1)

Трёхчлен 9x^>2+6x+1 можно представить в виде квадрата двучлена:

9x^>2+6x+1= (3x+1)^> 2

Таким образом, 36x^>3+24x^>2+4x=4x (3x+1)^> 2

Пример 2. Разложить на множители многочлен xy^>3—3y^>3+xy^>2z-3y^>2z

Решение: Вынесем за скобки общий множитель y^>2:

xy^>3—3y^>3+xy^>2z-3y^>2z=y^>2 (xy-3y+xz-3z)

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, разложим на множители многочлен: xy-3y+xz-3z

xy-3y+xz-3z=y (x-3) +z (x-3) = (x-3) (y+z)

Окончательно получим:

xy^>3—3y^>3+xy^>2z-3y^>2z=y^>2 (x-3) (y+z)

Пример 3. Разложить на множители многочлен: a^>2—4ab-9+4b^>2

Решение: Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены многочлена. Полученный трёхчлен можно представить в виде квадрата разности.

(a^>2—4ab+4b^>2) -9= (a-2b)^> 2—9

Полученное выражение не что иное, как разность квадратов:

(a-2b)^{> 2}—9= (a-2b)^{> 2}—3^>2= (a-2b-3) (a-2b+3)

Таким образом, a^>2—4ab-9+4b^>2= (a-2b-3) (a-2b+3).

Понятие уравнения является одним из основных понятий алгебры. От того как вы освоите решение уравнений зависит ваше дальнейшее продвижение по усвоению более сложного материала. Поэтому отнеситесь к этой теме с должной серьёзностью.

Итак, равенство, содержащее переменную, называется уравнением.