2. Все сто задач разбиты на группы по требованию: задачи на вычисления, на доказательство, решение уравнений и т. д. При этом в рамках одной группы тоже есть некоторая упорядоченность, но она не имеет большого значения, чтобы об этом стоило говорить.
3. Задачи не упорядочены по трудности – задача, которую можно решить устно, и задача, требующая письменных трудоёмких выкладок, могут стоять рядом; есть те, о способе решения которых догадаться нетрудно, а есть задачи на «подумать».
4. Задачи не упорядочены по школьной программе: по условию может показаться, что задача из 7-го класса, а по методу решения она оказывается из 11-го.
5. Ответом вычислительных задач может быть не число, а числовое выражение, если результат содержит огромное количество цифр или требует изнурительных вычислений.
Основные обозначения в рамках этой книги:
N – число года (2023, 2024, 2025…)
a – цифра десятков числа года
(в текущем десятилетии это «2»)
b – цифра единиц числа года (в 2023 году это «3»)
(10a + b) – двузначное число, образованное двумя последними цифрами числа года (в 2023 году это «23»)
m/n – дробь с числителем m и знаменателем n
n! – факториал натурального числа (произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n)
Если у читателей будут возникать замечания (о найденных опечатках или – о ужас! – ошибках), то прислать их можно по ссылке: https://vk.me/metodikamatematiki312
Часть I.
ЗАДАЧИ
СО СТАНДАРТНЫМ УСЛОВИЕМ
И
УНИВЕРСАЛЬНЫМ
СПОСОБОМ РЕШЕНИЯ
Найдите значение предложенных числовых выражений
1. N >2 – (N – 1)> 2.
Например, 2023>2 – 2022>2.
2. (100010001 × N) × (N – 1) – (100010001 × (N – 1)) × N.
Например, 202320232023 ∙ 2022 – 202220222022 ∙ 2023.
3. N >lg (>N> – 1) – (N – 1)>lg N.
Например, 2023>lg 2022 – 2022>lg 2023.
4. log>N log>N N.
Например, log>2023log>20232023.
Найдите сумму чисел
5. 1 +2 +3 + … + N.
Например, 1 +2 +3 + … +2023.
6. N + (N – 1) + … +2 +1.
Например, 2023 +2022 + … +2 +1.
7. 1 +2x +3x>2 + … + Nx>N> – 1 для x = 2.
Например, 1 +2 ∙ 2 +3 ∙ 2>2 + … +2023 ∙ 2>2022.
8. 2 ∙ 2>0 +3 ∙ 2>1 +4 ∙ 2>2 +5 ∙ 2>3 + … + N ∙ 2>N> —2 + (N +1) ∙ 2>N> – 1.
Например, 2 ∙ 2>0 +3 ∙ 2>1 +4 ∙ 2>2 +5 ∙ 2>3 + … +2024 ∙ 2>2022.
9. 1>2 ∙3>1 +2>2 ∙ 3>2 +3>2 ∙ 3>3 +4>2 ∙ 3>4 + … + N>2 ∙ 3>N.
Например, 1>2 ∙3>1 +2>2 ∙ 3>2 +3>2 ∙ 3>3 +4>2 ∙ 3>4 + … +2023>2 ∙ 3>2023.
10. 1∙1! +2∙2! +3∙3! + … + N ∙ N!.
Например, 1 ∙ 1! +2 ∙ 2! +3 ∙ 3! + … +2022 ∙ 2022!.