Сократим \( (x – 2) \):\[f(x) = \frac{x – 1}{2x – 1}\]
Теперь найдем предел, подставив \( x = 2 \):
\[\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{2 – 1}{2(2) – 1} = \frac{1}{4 – 1} = \frac{1}{3}\]
Таким образом, предел функции равен:
\[\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{3}\].Ответ: 1/3.
Традиционное решение
lim (x→2)f(x)= lim (x→2)(x^2 – 3x+2)/( 2x^2 – 5x +2)= lim (x→2)((x – 1)(x – 2)/( 2x – 1)(x – 2)) =
= I числитель и знаменатель функции сокращаем на (x -2) I= (x – 1)/(2x – 1) = 1/3. Ответ: 1/3.
4.Найти предел функции f(x) = ((1+x)^(1/2) – (1- x)^(1/2))/3x при x стремящемся к 0.
Нейросеть Маша (СhatGPT-4)
Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}}{3x}\]
при \( x \) стремящемся к 0, подставим 0 в функцию:
\[f(0) = \frac{\sqrt{1+0} – \sqrt{1-0}}{3 \cdot 0} = \frac{1 – 1}{0} = \frac{0}{0}\]
При подстановке получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Чтобы решить это, применим метод умножения на сопряженное выражение:
Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \):
\[f(x) = \frac{(\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{3x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}\]
В числителе получаем:
\[(\sqrt{1+x})^2 – (\sqrt{1-x})^2 = (1+x) – (1-x) = 2x\]
Таким образом, выражение становится:
\[f(x) = \frac{2x}{3x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \frac{2}{3(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}\]
Теперь можем найти предел:
\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{2}{3(\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0})} = \frac{2}{3(1 + 1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]
Таким образом, предел функции равен:
\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{3}\]/.Ответ: 1/3.
Традиционное решение
lim (x→0)f(x)= lim (x→0)((1+x)^(1/2) – (1- x)^(1/2))/3x)= lim (x→0)(1 + x – 1 + x )/3x((1+x)^(1/2) + (1- x)^(1/2)) = I числитель и знаменатель функции умножаем на (1+x)^(1/2) + (1- x)^(1/2)I = 2/(3(1+1)) = 1/3. Ответ: 1/3.
5.Найти предел функции f(x) = (1 – cosx)/5x^2 при x стремящемся к 0.
Нейросеть Маша (СhatGPT-4)
Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{1 – \cos x}{5x^2}\]
при \( x \) стремящемся к 0, подставим 0:
\[f(0) = \frac{1 – \cos(0)}{5(0)^2} = \frac{0}{0}\].
Получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Используем формулу для приближения функции \( \cos x \) при \( x \) стремящемся к 0:
\[1 – \cos x \approx \frac{x^2}{2}\]
Таким образом, мы можем переписать функцию:
\[f(x) \approx \frac{\frac{x^2}{2}}{5x^2} = \frac{1}{10}\]