Из простых, атомарных предложений складываются сложные молекулярные предложения. При этом применяются различные логические операции дизъюнкции, конъюнкции, отрицания и т. д. Рассел писал: «Я называю их молекулярными предложениями потому, что они содержат в себе другие предложения, которые можно называть атомарными, и я под молекулярными предложениями обозначаю предложения, имеющие такие слова, как „или“, „если“, „и“ и так далее» [1].
Из простого предложения «это сладкое», обозначенного переменной величиной «p» можно получить посредством операции отрицания более сложное, отрицательное предложение «это не сладкое», обозначаемое через «не-p». Предложение формы «не-p» истинно, если «p» ложно, и ложно, если «p» истинно. Конечно, если сахар сладкий, то обозначающее этот факт предложение «p» истинно. Соответственно, предложение «не-p» в таком случае будет ложным и, наоборот.
Таковые сложные предложения, зависящие от истинности и ложности простых предложений, называются функциями истинности. «Когда говорю, что „p“ несовместимо с q», – подчеркивал Рассел, – «я имею в виду, что они не могут быть оба одновременно истинными, … и такие молекулярные предложения являются примерами функций истинности» [2].
Посредством дальнейших логических операций с функциями истинности образуются функции генерализации (обобщения). Неопозитивисты различают два типа обобщения (генерализации): 1) утверждение чего-либо о каждом x («Все люди смертны»), 2) утверждение чего-либо о некотором x или, по крайней мере, об одном x («Некоторые люди суть математики»).
Как видно, эти типы генерализации не отличаются совершенной новизной. Мы знаем, что в традиционной формальной логике суждения делятся на единичные, частные и общие: единичное растение целебно, многие или несколько растений целебны и все металлы электропроводны. Тем не менее, в математической логике считают необходимым называть частные суждения по другому – суждением существования. Суждение «некоторые растения целебны» с помощью квантора существования можно записать так: «Существует x такой, что x является растением и целебным». А общее суждение «Все люди смертны» с помощью квантора общности записывается: «Для всех x, если x есть человек, то x – смертен».
Собственно говоря, такова, согласно логике Рассела-Витгенштейна классификация (или каталог) форм предложений. Авторы ее претендуют на роль и значение совершенно нового открытия, чем классификация форм мышления, данной Аристотелем. Рассел утверждает, что формальная логика, начиная с 1850 года, в каждое десятилетие делает больше, чем за весь период от Аристотеля до Лейбница.