Векторные пространства
Векторное пространство – это набор векторов, который удовлетворяет определенным свойствам, таким как:
Закрытие относительно сложения: сумма двух векторов из пространства также находится в этом пространстве.
Закрытие относительно умножения на скаляр: произведение вектора из пространства скаляр также находится в этом пространстве.
Коммутативность и ассоциативность сложения: порядок, в котором складываются векторы, не влияет на результат.
Существование нулевого вектора: существует вектор, который не меняет результат при сложении с другим вектором.
Существование обратного вектора: для каждого вектора существует другой вектор, который при сложении с ним дает нулевой вектор.
Примером векторного пространства является набор всех возможных изображений размером 256x256 пикселей. Каждое изображение можно представить как вектор пикселей, и этих векторов образует векторное пространство.
Линейная независимость и базис
Линейная независимость – это свойство набора векторов, которое означает, что ни один из векторов не может быть представлен как линейная комбинация других векторов. Например, если у нас есть два вектора, которые являются кратными друг другу, то они линейно независимы.
Базис – это набор линейно независимых векторов, который может быть использован для представления любого вектора из векторного пространства. является фундаментальным понятием в линейной алгебре, поскольку он позволяет нам представить векторы компактной и удобной форме.
Ортогональность и норма
Ортогональность – это свойство двух векторов, которое означает, что их скалярное произведение равно нулю. является важным понятием в линейной алгебре, поскольку она позволяет нам представить векторы виде линейных комбинаций ортогональных векторов.
Норма – это функция, которая присваивает каждому вектору неотрицательное число, которое представляет его "длину" или "величину". является важным понятием в линейной алгебре, поскольку она позволяет нам измерять расстояние между векторами и определять их взаимное положение.
Заключение
В этой главе мы рассмотрели основные понятия линейной алгебры и векторных пространств, которые необходимы для понимания более сложных тем в машинном обучении. Мы обсудили векторы матрицы, векторные пространства, линейную независимость базис, ортогональность норму. Эти являются фундаментальными многих алгоритмов машинного обучения, их понимание является необходимым работы области.