Основное правило комбинаторики – правило умножения:
Если первый элемент в комбинации можно выбрать m способами, а второй – k способами, то общее количество комбинаций из двух элементов равно m*k. В продолжение: если третий и так далее элемент можно выбрать n3, n4 и т.д. способами, то общее количество способов организовать упорядоченные множества этих элементов будет рассчитываться, как произведение количества элементов в этих множествах. Задача в этом случае может состоять в том, сколькими способами можно составить пару ведущих из мальчиков и девочек, учащихся в одном классе.
Перестановки – комбинации, которые образуются из различных предметов при расположении их в ряд на различных местах, меняя всеми возможными способами:
Если есть n предметов, то число способов их пронумеровать (число перестановок) равно n! – факториалу числа, равного количеству этих предметов. Например, сколькими способами можно составить расписание уроков или маршрут.
Сочетания – наборы элементов, взятых из множества. Сочетания показывают, сколькими способами можно выбрать k элементов из n элементов. Например, сколькими способами можно выбрать 3 цветка в букет, если имеется 8 видов цветков.
Комбинаторика, очевидно, имеет широкую практическую направленность, тому демонстрацией и подтверждением являются примеры, бережно собранные автором в этой книге.
Историю комбинаторики можно рассматривать в двух ключах.
Как раздел науки, комбинаторика появилась довольно поздно, благодаря вниманию исследователей к азартным играм, которые, в свою очередь, имеют гораздо более древнюю историю.
В то же время комбинаторные принципы пронизывают всю нашу жизнь и находят применение не только в абстрактных математических задачах. Поэтому человек всегда стремился замечать и использовать их на протяжении всей истории развития общества.
Комбинаторика: случайность или закономерность
С доисторических времен люди стояли перед необходимостью расположения охотников во время охоты, воинов во время битвы с противником. Затем во время физических подготовок появились состязания и игры на выносливость в беге, прыжках, поднятии тяжестей, стрельбе из орудий и бросании предметов. На сегодняшний день в спорте нашла применение статистическая система оценки вклада каждого конкретного игрока и его влияние на результат всей команды. На помощь приходит компьютерное моделирование. Комбинаторные принципы в спорте играют важную роль в выборе эффективных стратегий и тактик в зависимости от количества игроков, их позиций на поле и набора игровых действий.