Тензоры. Что может быть проще? - страница 18

Шрифт

Интервал

, равное 10 МП (Мега Паскалей), и сдвиг по грани XY, равное 5 МП. Если сложить эти силы, мы получим 15 МП, но это не будет иметь смысла: растяжение и сдвиг – разные типы воздействия. Чтобы найти, например, максимальное растягивающее напряжение под углом 30°, нужно использовать тензор, всю совокупность действующих напряжений, а не сумму компонент.

Какой мы теперь делаем вывод из всего этого? Тензор напряжений – это единственный способ корректно описать, как силы распределены по всем направлениям и площадкам в точке материала. Простое сложение компонент:

– смешивает разнородные величины (нормальные и касательные напряжения);

– игнорирует зависимость напряжений от ориентации;

– нарушает законы физики (например, парность касательных напряжений).

Можно привести простую аналогию: Представьте, что тензор – это палитра художника, где каждый цвет (компонент напряжения) отвечает за определённый оттенок. Если смешать все краски в кучу, получится грязно-коричневая масса. Только используя цвета по правилам (тензорный формализм), можно создать точную картину напряжённого состояния.

Исчерпывающее описание

Давайте теперь задумаемся над тем, почему тензора напряжения как совокупности трёх векторов достаточно для описания вообще всех мыслимых и немыслимых напряжений в теле? Всего три вектора, приставленных к трём площадкам, могут решить любой вопрос.

Для этого анализа давайте вспомним доступные нам операции. Мы можем записать три вектора напряжений, приложенных каждый к своей ориентированной площадке, в виде прямоугольной таблицы из девяти компонент, называемой матрицей. Матрицы могут умножаться на другие матрицы, и в частности на матрицы-строки и матрицы-столбцы.

Матрицы умножаются так.

Если из элементов матрицы составить некоторые алгебраические комбинации, то мы можем получить так называемые инварианты – величины, которые будут неизменны при переходе к другой системе координат. На всякий случай напомним, что матрицы умножаются по правилу «строка на столбец». Умножаясь на вектор справа или на ковектор слева, они дают тот же тип объекта (вектор и ковектор соответственно) и в этом смысле являются операторами. То есть объектами, которые преобразуют вектора, превращая их в другие вектора. Матрица – это оператор, то есть превращатель. Если вектора, на которые воздействуем, мы стали рассматривать в новом базисе, то и превращатель разумно тоже рассмотреть с новой точки зрения – из нового же базиса!

Следующая страница