Тензоры. Что может быть проще? - страница 17
Наши первооткрыватели первично вводили систему координат XYZ и рассматривали координатные плоскости как основу для бесконечно малых площадочек. Силы, действующие на каждую из площадок, первооткрыватели обозначали максимально просто. Xx, Xy, Xz, Yx, Yy, Yz, Zx, Zy, Zz. Под этими символами подразумевали проекции напряжений, действующих на гранях элементарного кубика или на площадке, соответствующей конкретной оси координат. Вполне естественно выглядит! Согласитесь?
В последствии в XIX веке наступило прозрение, что эти девять чисел – есть единый объект! Его-то и назвали тензором напряжений.
Как видите, всё просто в математике, гениально и просто. Где невозможно обойтись одним вектором, ничто не мешает нам взять их несколько штук!
Сегодня обозначения отличаются от тогдашних. Тензор напряжений принято обозначать чаще всего греческой буквой «сигма» с двумя индексами или латинской буквой P. Первый индекс показывает, о какой грани или площадочке идёт речь, а второй – о каком компоненте вектора напряжения, относящегося к этой площадке.
Варианты задания напряжений в трёх направлениях в виде трёх векторов сил, приложенных к конкретной площадке. Можно также рассматривать площадку, заданную произвольной нормалью.
Возможно, вы спросите, почему нельзя просто взять и сложить все эти силы или их компоненты, действующие в одном направлении, приложенных к точке, и получить вектор силы на единицу площади? Почему, например, нельзя сложить Pxx и Pyx? Дело в том, что хотя силы действуют в одном направлении в одной точке, их природа различна. Например, Pxx тянет объект влево и хочет, чтобы соответствующая этой компоненте грань выступала влево. В то же время Pyx действует, чтобы сдвинуть или потянуть выделенную перпендикулярную оси Y грань влево. Эта компонента силы хочет создать трёхмерный параллелограмм вместо выступа. Сдвиг и растяжение приводят к тому, что тело деформируется по-разному в разных направлениях. Поэтому эти компоненты и вектора нельзя складывать. Поэтому же, помимо указания сил, необходимо указывать поверхность, на которую действует сила. Если сложить их «в лоб», получится бессмысленная смесь разнонаправленных векторов. Это как сложить скорость ветра и силу тяжести – формально числа есть, но физического смысла нет.
Представьте кубик, на который действуют: растяжение по оси