Тензоры. Что может быть проще? - страница 26

Скалярное произведение, таким образом, и тут играет роль проекции, по крайней мере части элементов тензора на внешний объект. Соответственно, если мы тензор умножим и слева, и справа на базисные вектора скалярно, то получим его компоненты в этом базисе. Компоненты тензора тогда совпадут с соответствующими компонентами его индивидуальных векторов, что и должно быть! Значит мы всё сделали как надо!

Тензор второго ранга можно разложить по своему специфическому тензорному базису. Всё как и с векторами! Если мы хотим получить базисные тензоры, нам нужно рассмотреть такие объекты, в которых индивидуальные вектора как раз совпадают с базисными векторами. Логично! Ведь именно по базисным векторам разлагаются индивидуальные векторы.

Таким образом, все введённые нами операции вполне естественны и физически оправданы. Например, скалярное умножение тензора на число отражает изменение интенсивности

физической величины без изменения её направления или природы. Например, тензор напряжений в материале, умноженный на скаляр, соответствует увеличению или уменьшению нагрузки в системе. Такое масштабирование сохраняет линейность физических законов (например, закон Гука) и позволяет адаптировать модели к разным условиям (смена единиц измерения, переход к безразмерным величинам).

Тензоры умножаются скалярно несколькими способами.

Умножения тензора на вектор слева и справа часто описывают преобразование векторов в физических системах. Например, как мы видели ранее, умножение тензора напряжений на вектор нормали к поверхности (стоящий справа) даёт вектор силы, действующей на эту поверхность, что используется в механике сплошных сред. В анизотропных диэлектриках умножение вектора электрического поля на тензор диэлектрической проницаемости (вектор слева) позволяет вычислить электрическое смещение. Эти операции физически интерпретируются как проекции тензора на определённые направления или преобразование входных векторов в выходные (например, деформация под нагрузкой).

Двойное скалярное произведение (свёртка) двух тензоров уменьшает их ранг и суммирует взаимодействия компонент. Это ключевая операция для описания энергетических процессов. К примеру, свёртка тензора напряжений и тензора деформации даёт плотность энергии деформации.

Тензоры можно разложить по тензорному базису