Тензоры. Что может быть проще? - страница 25

Также стоит вспомнить, что скалярное умножение по своей сути – это проекция, или, как её ещё называют, свёртка. Два вектора проецируются друг на друга, и проекция возрастает пропорционально партнёру. Это можно мыслить как взаимодействие вектора и дуального ему ковектора, компоненты которых суммируются (сворачиваются) по верхнему и нижнему индексу и дают число. Но у тензоров второго ранга индексов два! Соответственно, их можно сворачивать (скалярно умножать) с двумя векторами или сворачивать с таким же тензором. Что ж. Учтём и этот факт тоже.

Складывать тензоры и умножать на число совсем просто.

С остальными операциями вопросов быть не должно. Вы наверняка уже сами догадались, как будет выглядеть, например, сложение. Есть, допустим, у нас два тензора T и B. У каждого из них есть свои индивидуальные вектора, имеющие притом свой порядок. Вполне логично под сложением понимать именно сумму векторов, стоящих на соответствующих по порядку местах! Новый тензор S, у которого индивидуальные векторы равны упорядоченной сумме индивидуальных векторов T и B, и будет результатом сложения.

Умножения тензора на число – тоже самоочевидно. Вполне логично удлинить все индивидуальные векторы на этот множитель.

Остальные операции рассмотрим подробнее.

Скалярное умножение тензора на вектор слева и справа.

Если мы тензор умножаем на вектор скалярно, то тензор пишем слева, а вектор справа. В результате получим вектор, который является суммой базисных, умноженных предварительно на скалярное произведение индивидуальных векторов с тем, на который умножается тензор.

Если же мы вектор умножаем на тензор скалярно, то пишем уже его справа, а тензор слева. В результате получаем тоже вектор, но он представляет собой сумму индивидуальных векторов, масштабированных скалярным произведением базисных векторов на умножаемый вектор.

Скалярное произведение двух тензоров второго ранга даёт тензор второго ранга. Но его индивидуальные вектора представляют собой комбинацию в виде суммы индивидуальных векторов второго множителя, умноженных предварительно на скалярное произведение индивидуальных векторов первого множителя с базисными векторами.

Компоненты тензора совпадают с соответствующими компонентами его индивидуальных векторов!

Двойное скалярное произведение тензоров даёт уже число, являющееся суммой скалярных произведений индивидуальных векторов обоих тензоров.