Тензоры. Что может быть проще? - страница 33
Симметричное тензорное произведение превращает два вектора и тензоры старше в симметричный тензор, который не меняется при перестановке аргументов. Обозначается оно кругом с точкой в центре, в точности как символ Солнца в астрономии. Каждый, кто искушён в линейной алгебре, знает, что для определения чего-либо нового достаточно задать его на базисных элементах. Все остальные надстройки подчиняются законам, действующим над базисом. Для симметричного перемножения базисных элементов рассмотрим тензорное произведение первого на второй, затем второго на первый, и сложим их, разделив сумму на два. Аналогичным образом можно строить более сложные симметричные комбинации, только не забывать делить на число всевозможных перестановок из n элементов, то есть на n! факториал.
Антисимметричное тензорное произведение создаёт антисимметричный тензор также гарантированно. Он меняет знак при перестановке индексов. Обозначается оно в виде клина, смотрящего вверх /\, и читается как «клин» или «внешнее произведение». В уравнениях выглядит футуристично, как настоящая математика инопланетян. Основанное на этом символе исчисление было введено Эли Картаном и невероятно упростило некоторые тензорные методы. Это произвело впоследствии настоящую революцию в математике и сейчас ассоциируется с целым отдельным направлением – алгеброй Грассмана.
Опять же, клиновидное произведение строится через базисные вектора, но в этот раз мы после перестановки элементов местами вычитаем один из другого, разность делим на количество слагаемых. Вычитание ведь – это сложение только со знаком минус. Вы ведь помните это?
Разделяй и упрощай!
Вообще, любой тензор можно разложить на симметричную и антисимметричную части. Найти обе из них удаётся, пользуясь тем же принципом, с помощью которого мы строим сами тензорные произведения. Только вместо перемены местами базисных векторов мы меняем индексы у тензоров местами. Такие операции называются симметрированием – когда нужно получить симметричный объект, и альтернированием – когда нужен антисимметричный тензор. Обозначаются они, соответственно, взятием симметризуемых индексов в круглые скобки и обрамлением в квадратные антисимметризуемых индексов. Индексы, не участвующие в данных процедурах, часто отделяются от остальных вертикальной чертой.