Тензоры. Что может быть проще? - страница 32

3 (v1, w1) —2 (v2, w3) + (v5, w4).

Но тензорное произведение – не винегрет. Ему нужно, чтобы всё было билинейно, то есть линейно и по v, и по w. А в нашем винегрете пока царит анархия. Например, (v1+v2,w) и (v1, w) + (v2, w) – это два разных элемента, хотя по смыслу они должны быть равны. Вот тут-то и приходит на помощь факторизация – математический аналог строгой диеты.

Только для тех, кто в теме.

Как это работает? Берём наш «винегрет» из формальных выражений – свободное пространство. Делим его на части, склеивая элементы, которые должны быть равными по своей сути. Например, (v1+v2, w) отождествляем с (v1, w) + (v2, w), как бы говоря себе, что это одна и та же конструкция. Это порождает свойство линейности. Далее, a (v, w) склеиваем с выражением (av, w) и (v, aw). Говоря, что это суть одно и тоже, мы даём себе право вносить множитель. Всё, что осталось после этой «уборки», и есть тензорное произведение пространства V на пространство W. Его элементы теперь ведут себя прилично.

Факторизация – это некоторый аналог деления. Когда мы делим число шесть на три, мы как бы тоже делаем нечто похожее на факторизацию. Мы считаем, что шестёрка – это шесть элементов какой-то природы. Грибов, яблок… Деля на три, мы заставляем разделиться всех этих участников шестёрки на группы по три элемента. А потом объявляем, что элементы каждой тройки слились воедино в своей группе. Сколько таких групп получим? Конечно же, две!

В случае факторизации таких объектов, как пространства или наборы буквенных и численных выражений (свободное пространство), мы слепляем в одно целое то, что считаем подобным по нужному нам признаку. Вот и всё.

Зачем так усложнять-то всё? Вводить какие-то формальные свободные пространства, факторизовать? Такова жизнь и математика! После освоения чего-то на понятном уровне возникает потребность шагнуть выше в абстракции и уже там открывать более общие закономерности.

Тензорное произведение – это как конструктор, который склеивает векторы и тензоры в более сложные объекты высших рангов. Но иногда хочется, чтобы эти объекты обладали уже заведомо дополнительными свойствами: например, не менялись при перестановке индексов (симметрия) или, наоборот, меняли знак (антисимметрия). Для этого математики придумали два специальных «инструмента»: симметричное и антисимметричное тензорные произведения.