Тензоры. Что может быть проще? - страница 37
Но давайте вспомним, как происходит само это питание. Ковектор, например, берёт компоненты вектора, умножает их на соответствующие свои и суммирует это всё. С тензорами второго ранга, аки матрицами, также всё сводится к специфическому суммированию перемноженных компонент в определённом порядке. И там и там возникают суммы, порой весьма громоздкие. Но возникают они обязательно.
Данное обстоятельство в 1916 году совсем допекло гениального Эйнштейна. И он вдруг подумал: «А что, если сделать так, чтобы знак суммы выкидывали на помойку, а вместо этого просто договориться, что по повторяющимся индексам мы всегда автоматически суммируем?» Так и родилось правило Эйнштейна: если индекс встречается один раз сверху и один раз снизу – по нему суммируем. И никаких сигм!
Новые тензоры и разные варианты отображений.
Иногда для краткости записи опускают и сам символ тензорного произведения, когда понятно из контекста, что он там есть. Особенно при матричном перемножении или когда ясно, что вектор на ковектор умножается тензорно и по всему этому новому базису разлагается новый тензор через свои компоненты. Без всех этих упрощений обозначения уравнения Общей Теории Относительности (ОТО) и Квантовой Теории Поля (КТП) занимали бы целую стену, а так помещаются даже на футболке.
Порождение новых линейных пространств.
Если у нас есть тензоры высоких рангов, то мы их можем заставить взаимодействовать друг с другом огромным количеством способов. Результат будет зависеть от того, по каким индексам мы их сворачиваем (суммируем) с другими монстрами тензорного мира. Главное для нас то, что объект, например, четвёртого ранга может вести себя как вектор, если остальные его три индекса «зацементировать» или заставить их свернуться с другими тензорными объектами. В дальнейшем мы увидим колоссальную пользу и наглядность таких тензоров.
Полилинейность.
Теперь давайте вспомним ещё один факт. Векторы и ковекторы образуют так называемое линейное векторное пространство. Так называют наборы объектов, которые можно складывать между собой, умножать на числа, ну и нужно, чтобы среди всего этого множества были такие элементы, как единица и ноль в местной интерпретации. Тензорное произведение тоже линейно, и значит сохраняет все свойства линейных векторных пространств. А значит, те объекты, которые получились в результате тензорного произведения, сами являются представителями неких новых линейных векторных пространств. Эти пространства также обозначают через символ тензорного произведения или его симметричных и антисимметричных аналогов.