Тензоры. Что может быть проще? - страница 38

Математики любят оперировать с абстракциями. И казалось бы, где на практике, а не в математических астралах найдётся место тензорному произведению каких-то пространств?

Однако в современном мире и такие конструкции весьма популярны. Например, архитектура квантовых многочастичных систем строится как тензорное произведение и называется пространством Фока. Пространство Фока – это математическая конструкция, которая позволяет описывать системы с переменным числом частиц (как в КТП). Оно строится как прямая сумма симметризованных (для бозонов) или антисимметризованных (для фермионов) тензорных произведений гильбертовых пространств отдельных частиц. Прямая сумма – это тоже просто. Например, трёхмерное пространство является прямой суммой одномерных пространств, задаваемых координатными осями. Тензорное произведение объединяет гильбертовы пространства частиц в единую систему, сохраняя их независимость до симметризации. Симметризация/антисимметризация «склеивает» частицы в соответствии с их природой (бозоны/фермионы). И без этого сейчас никак не обойтись в передовой физике!

Основной фишкой векторов и ковекторов являлась их инвариантность. В какой бы системе отсчёта вы их не рассматривали и под каким углом, они всё равно остаются некоей вещью в себе. Тензорное произведение объединяет объекты такой природы в нечто новое. Получившийся тензор наследует все эти качества самостийности от векторов и ковекторов, из которых он собран. А значит, все тензоры должны подчиняться единому универсальному закону преобразования. Давайте его найдём. Собственно говоря, именно им тензоры так знамениты.

Выражения одного базиса через другой. Прямое и обратное преобразования базиса как ковектора.

Для осмысления этого закона преобразования давайте вспомним о векторах и ковекторах. Это дуальные объекты, которые мы разлагаем по их базисам. Если базисный вектор увеличивается, то базисный ковектор уменьшается. При этом их взаимодействие уже в новом базисе по-прежнему даёт единицу. Это очень хорошо и наглядно видно на рисунке, чисто геометрически.

Как мы преобразуем базис и как находим компоненты векторов и ковекторов в новом? Раньше мы это делали чисто геометрически. Просто могли нарисовать новую систему координат и спроецировать на неё ковариантные и контравариантные компоненты наших объектов. Но алгебраически это проще делать через матрицы. Именно они могут как масштабировать (растягивать и сжимать), так и поворачивать наши векторы и ковекторы, как базисные, так и остальные.