Отображение плоскости на поверхность. Видно, как ведёт себя линия из плоскости после проекции в кривом пространстве.
Для простоты рассмотрим двумерную кривую поверхность. Первый вопрос, который нужно задать. Как математически описать двумерную поверхность, помещённую в трёхмерное пространство? Карты и атласы – это да. Но в деталях, как это реализуется на практике? Ну, на практике самое простое – это взять двухмерную плоскость с координатами и предъявить какую-либо удобную функцию, которая растянет и преобразует плоскость, «накинув» её на двухмерную поверхность. По сути, мы берём каждую точку пространства и присваиваем ей координаты в трёхмерном пространстве.
Как нам нарисовать кривые на сфере? Или, в более общем случае, как перенести кривую из плоскости на нашу поверхность? Для этого мы берём уравнение пути и пропускаем его через функцию, отображающую плоскость в поверхность, и получаем результат – путь внутри поверхности! Если всё сделано правильно, то можно заметить, что путь пересекает координатную сетку на поверхности точно так же, как он это делал в плоскости.
Векторы внутри кривого пространства можно ввести, если вспомнить, что ими задаётся, например, скорость изменения параметра кривой. Всё как и с функцией. Берём два радиус-вектора, показывающих положение точки на кривой, принадлежащей поверхности. Устремляем разницу между ними к нолю. Вектор смещения точки, который, вообще говоря, может прокалывать саму поверхность, превращается в стрелку, касательную к кривой.
Каждая точка многообразия имеет касательное пространство, в котором живут векторы.
Мы и так уже морально готовы к тому, что в кривых пространствах будем работать с локальными картами, эмитирующими евклидову геометрию. Поэтому, слегка поразмыслив, так же поймём и смиренно примем, что вектора можно относить лишь к каждой точке многообразия отдельно. В одной точке мы имеем всевозможные вектора, которые могут смотреть по касательной в противоположных направлениях. В другой точке будет другое касательное направление. Значит, имеет смысл говорить, что вектора на многообразиях живут лишь в касательных пространствах, которые имеются в каждой их точке. Множество всех касательных пространств данного многообразия называют касательным расслоением. Ковекторы тоже живут в касательном пространстве, иначе они бы не могли есть вектора, выдавая число. Такое множество касательных пространств для ковекторов называют кокасательным расслоением.