Высшая математика. Шпаргалка - страница 2
2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой
1. Пусть даны три точки А>1 (х>1, у>1), А>2 (х>2, у>2), А>3 (х>3, у>3), тогда условие нахождения их на одной прямой:
либо (х>2 – х>1) (у>3 – у>1) – (х>3 – x>1) (у>2 – у>1) = 0.
2. Пусть даны две точки А>1 (х>1, у>1), А>2 (х>2, у>2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:
(х>2 – х>1)(у – у>1) – (х – х>1)(у>2 – у>1) = 0 или (х – х>1) / (х>2 – х>1) = (у – у>1) / (у>2 – у>1).
3. Пусть имеются точка М (х>1, у>1) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямойLчерез данную точкуМ:
у – у>1 = а(х – х>1).
Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х – х>1) + В(у – у>1) = 0.
Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямойLчерез данную точкуМ:
у – у>1 = –(х – х>1) / а
или
а(у – у>1) = х>1 – х.
Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х>1, у>1), описывается уравнением А (у – у>1) – В(х – х>1) = 0.
4. Пусть даны две точки А>1 (х>1, у>1), А>2 (х>2, у>2) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:
1) точки А>1, А>2 лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах>1 + Ву>1 + С) и (Ах>2 + Ву>2 + С) имеют одинаковые знаки;
2) точки А>1, А>2 лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах>1 + Ву>1 + С) и (Ах>2 + Ву>2 + С) имеют разные знаки;
3) одна или обе точки А>1, А>2 лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах>1 + + Ву>1 + С) и (Ах>2 + Ву>2 + С) принимают нулевое значение.
5. Центральный пучок – это множество прямых, проходящих через одну точку М (х>1, у>1), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у – у>1 = к (х – х>1) (параметр пучкак для каждой прямой свой).
Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y – y>1) = m(x – x>1), где l, m – не равные одновременно нулю произвольные числа.
Если две прямые пучка L>1 и L>2 соответственно имеют вид (А>1х + В>1у + С>1) = 0 и (А>2х + В>2у + С>2) = 0, то уравнение пучка: