Путешествие в квантовую механику - страница 7
4.1 Пример решения уравнения Шрёдингера
Осуществляя поиск аналитического решения уравнения Шрёдингера, необходимо разложить в ряд Фурье следующие выражения: ψ>p, F (x) и U>p (x) F (x), тогда:
где R>x – координата граничного условия Дирихле; F (x) – произвольно заданная дифференцируемая функция, F (x) ∈C.
Домножим левую и правую части тождества (4) на величину F (x), следовательно:
Заменим неизвестные переменные в формуле (4`) на соотношения A`, B`, C`, тогда:
В состав выражения (4*) входит общий множитель e>2iπmxx/Rxe>2iπnxx/Rx. Необходимо сократить последний, оставив в результате только коэффициенты тригонометрического ряда. Выполним следующие преобразования:
Разделим переменные относительно ψ>p (t, n>x, m>x), тогда:
Исходя из тождества ограниченности вероятности ∫>-∞>∞ψ>pψ>p*dx=1, возможно определить коэффициент C>p. В рассматриваемом примере существует зависимость величины C>p от времени t. Потребуем, чтобы множитель C>p оставался постоянным в том случае, когда E>p∈R. Область определения волновой функции будет лежать в пределах отрезка [0,R>x]. Вместе с тем для коэффициента R>x возможно задать любое значение R>x> 0∈R, тогда:
Исходя из стационарного одномерного уравнения Шрёдингера, можно определить полную энергию электрона E>p, находящегося в состоянии p, следовательно:
Для трёхмерного базиса величина E>p составит:
В общем случае переменная E>p окажется неопределённой, поскольку в выражении, полученном для полной энергии E>p, будут присутствовать произвольные функции: F (x) – для одномерной или F (x,y,z) – для трёхмерной системы координат.
Таким образом, опираясь на предложенную в данном параграфе методику, можно констатировать, что величина E>p, выраженная в общем виде, будет зависеть от случайных процессов, происходящих в квантовой системе. В стационарных условиях левая и правая части тождества (4!!) примут фиксированные во времени значения.
4.2 Кот Шрёдингера. Коллапс волновой функции
Если функции ψ>1 и ψ>2 являются волновыми, то их линейная суперпозиция ψ>3 = c>1ψ>1 + c>2ψ>2 описывает некоторое состояние квантовой системы. В том случае, когда измерение определённой физической величины f в состоянии ψ>1 приводит к результату f>1, а в состоянии ψ>2 – к результату f>2, тогда измерение состояния ψ>3 приведёт к результатам f>1 или f>2 с вероятностями |c>1|>2 и |c