Математика шахматной доски - страница 3

Первый естественный вопрос, связанный с полимино, это их количество для каждого вида. То, что мономино всего одно, сомнений не вызывает. Как получить все варианты для домино? Достаточно добавить одну клетку к мономино. Легко увидеть, что во всех четырёх случаях получается одно и то же (с точностью до поворота), поэтому фигурка из двух клеток (домино) всего одна.

Рисунок 1. Получаем домино из мономино

Двигаясь дальше, выясняем, что тримино бывают уже двух видов: прямое и угловое.

Рисунок 2. Получаем тримино из домино

Точно так же добавляем клетки и получаем пять различных видов тетрамино (см. рисунок 3) и 12 различных видов пентамино (это упражнение предлагается самостоятельно выполнить читателю, соответствующая картинка приведена в Приложении 2).

Рисунок 3. Получаем тетрамино из тримино

Тетрамино имеют устоявшиеся названия, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем (на рисунке 3 слева направо и сверху вниз: прямое тетрамино, T-тетрамино, косое тетрамино, L-тетрамино и квадратное тетрамино).

Аналогично можно получать и все фигурки большего размера.

Достаточно естественным образом встаёт вопрос: из каких полимино можно составить доску? Чаще всего задача формулируется в другую сторону: на какие полимино можно разрезать всю доску (без остатка)? При этом слово «разрезать» здесь не следует трактовать буквально (хотя в моей практике был школьник, который именно так и поступал: брал бумажный квадрат 8×8 и резал его на заявленные части – однако даже к нему быстро пришло понимание, что результат такой работы будет практически невозможно продемонстрировать педагогу).

Ясно, что на мономино шахматная доска разбивается достаточно легко. Не вызывает особенных проблем и её разбиение на домино.

Рисунок 4. Разбиение на мономино

Рисунок 5. Разбиение на домино

Попытка разбить на прямые тримино приводит к тому, что остаётся одна клетка, не входящая ни в одну фигурку. Младшие школьники обычно либо в растерянности (им в принципе непривычно, что на вопрос «можно ли» бывает отрицательный ответ), либо говорят, что разрезать невозможно, потому что у них осталась одна лишняя клетка.

Школьник постарше, знакомый с понятием делимости, сразу формулирует это иначе: доску нельзя разрезать на тримино (хоть на прямые, хоть на угловые), потому что её площадь не делится на 3 (не делится