Репетитор по математике. Алгебра - страница 8

Схема:

2. Деление многочлена на многочлен в общем случае можно выполнить с остатком, подобно тому, как это делается при делении целых чисел.

Разделить многочлен P на многочлен Q значит найти многочлен M (частное) и N (остаток) удовлетворяющий двум требованиям: 1) должно соблюдаться равенство MQ+N=P и 2) степень многочлена N должна быть ниже степени многочлена Q.

Процесс нахождения частного M и остатка N аналогичен процессу деления с остатком многозначного числа на многозначное. Перед делением члены делимого и делителя располагается в порядке убывания степеней главной буквы.

Например, разделим 6x^>3 +2x^>2 – x +12 на 3x^>2 – 2x +6

Запись деления:

1.Делим первый член делимого 6x^>3на первый член делителя 3x^>2. Результат 2x – первый член частного.

2.Умножаем полученный член на делитель 3x^>2 – 2x +6, результат 6x^>3 – 4x^>2 +12x записываем под делимым.

3.Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого, получаем 6x^>2 – 13x +12

4. Первый член остатка 6x^>2 делим на первый член делимого, результат 2 есть второй член частного.

5. Множим полученный второй член частного на делитель, результат 6x^>2 – 4x +12 подписываем под первым остатком.

6. Вычитаем члены этого результата из соответствующих членов первого остатка, получаем второй остаток: -9x. Его степень меньше степени делителя. Деление закончено.

.

Целая часть: 2x +2

Остаток: – 9x

Приведём более сложный пример без дополнительных пояснений.

Целая часть: 3t^>2 – 7t +5

Остаток: 34t – 37

Среди частных случаев деления многочлена на многочлен выделим делимость двучлена x^>m±a^>m на x±a.

1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих чисел, т.е. x^>m-a^>m делится на x-a

Примеры.

(x^>2-a^>2): (x-a) =x+a

(x^>3-a^>3): (x-a) =x^>2+ax+a^>2

(x^>4-a^>4): (x-a) =x^>3-ax^>2+a^>2x+a^>3

(x^>5-a^>5): (x-a) =x^>4-ax^>3+a^>2x^>2+a^>3x+a^>4

2. Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел, но и на их сумму т.е. x^>m-a^>m при чётном m делится на x+a

Примеры.

(x^>2-a^>2): (x+a) =x-a

(x^>4-a^>4): (x+a) =x^>3-ax^>2+a^>2x-a^>3

(x^>6-a^>6): (x+a) =x^>5-ax^>4+a^>2x^>3-a^>3x^>2+a^>4x-a^>5

2a. Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел.

Например, ни x^>3-a^>3, ни x^>5-a^>5 не делятся на x+a.

2б. Так как разность чётных степеней делится на x-a и на x+a, то она делится и на x^>2-a^>2.