1.1. Что такое математика
Рене Декарт: к области математики относятся тольĸо те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чем отыскивается эта мера. Фридрих Энгельс: математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Николя Бурбаки: Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, – именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм – математических структур. Герман Вейль: вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается отĸрытым… «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярĸим и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.
Разделы математики в самом обобщенном виде можно представить следующим образом. Количество: Число – Арифметика – Алгебра. Преобразования: Арифметика – Анализ – Дифференциальные уравнения – Динамические системы – Теория хаоса. Структуры: Теория множеств – Линейная алгебра – Топология. Пространственные отношения: Геометрия – Тригонометрия – Дифференциальная геометрия – Топология – Теория меры – Фракталы. Дискретная математика: Математическая логика – Комбинаторика – Теория графов – Теория алгоритмов – Информатика. Международный классификатор предметов математики: Mathematics Subject Classification (MSC2020).
1.3. Математические модели
Математический объект – это абстрактный объект, определяемый и изучаемый в математике. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных объектов или на основе других математических объектов. Например: множество, число, функция, шар, пространство. Моделью можно назвать абстрактное представление реальности. Математика имеет дело с моделями, которые часто используются для анализа процессов, событий и явлений окружающего мира. Но для математиков они всего лишь математические объекты.