2.2. Операции над множествами
Что будет если объединить два множества? Это зависит от того, каким образом мы определим операцию объединения (или сложения) для двух множеств.
Под объединением двух множеств мы будем понимать новое множество, состоящее из элементов первого или второго множества. Союз «или» означает, что в объединение попадают также те элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно, но в итоговой сумме эти каждый из этих элементов будет представлен один раз.
Пересечение двух множеств представляет собой третье множество, состоящее из элементов, которые являются одновременно элементами и первого, и второго множества. Пересечение может оказаться пустым, если множества не пересекаются. Операцию пересечения двух множеств называют еще их произведением.
Разность двух множеств представляет собой множество, которое содержит элементы первого множества и не включает элементы второго. Мы вычитаем, тем самым, второе множество из первого и получаем новое множество, называемое их разностью. Можно рассмотреть также еще одну операцию – дополнения одного множества по отношению к другому. В дополнение попадают те элементы второго множества, которые не являются элементами первого.
Операции над множествами для наглядности принято изображать при помощи диаграммы Эйлера. Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Позже эту идею развил английский логик Джон Венн.
Между двумя множествами можно устанавливать соответствие, когда всем или некоторым элементам первого множества ставятся в соответствие какие-то элементы второго множества. При этом одному элементу первого множества, вообще говоря, может соответствовать один или несколько элементов второго, или не соответствовать ни один из элементов.
Взаимно-однозначное соответствие между множествами устанавливается в том случае, если каждому элементу первого множества устанавливается в соответствие один и только один элемент второго и наоборот. Если между между двумя конечными множествами установлено взаимно-однозначное соответствие, то это означает, что они состоят из одинакового количества элементов.
Определив для множеств операции сложения, вычитания и умножения мы можем применять их к любому числу множеств и благодаря этому получаем новый математический объект, состоящий из всех множеств, рассматриваемых нами применительно к определенной ситуации, и действий, которые мы над ними можем совершать. Этот новый объект математики называют алгеброй, подобно алгебре чисел существует также алгебра множеств. Мы не будем останавливаться на точном математическом определении этого объекта, скажем только, что в алгебре необходимо, чтобы введенные применительно к множествам операции обладали некоторыми, совсем не сложными свойствами.