Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - страница 18

Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый актив и рискованный актив. На основании приведенных выше соотношений рассмотрим основные свойства портфеля, который состоит из безрискового актива и рискованного актива

где и – относительные объёмы инвестирования в безрисковый и рискованный активы соответственно; и – доходность и СКО доходности безрискового актива соответственно; и – МО и СКО доходности рискованного актива соответственно; – коэффициент корреляции доходностей безрискового и рискованного активов.

Поскольку в данном случае , СКО доходности безрискового актива равно нулю () по определению, а случайная и детерминированная величины всегда не коррелированны () получаем

После простых преобразований находим

Анализ соотношения (1.14) показывает, что зависимость МО доходности портфеля от СКО доходности является линейной (рис.1.2). Параметр является свободным членом в данной линейной зависимости, а отношение является тангенсом угла наклона прямой.

Рис. 1.2. Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованный активы

Условия и ограничивают прямую линию отрезком прямой, который пересекает ось ординат в точке, соответствующей портфелю (, , , ), и завершается точкой, соответствующей портфелю (, , , ).

Таким образом, достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованный активы, имеет вид отрезка прямой линии, соединяющей точки и , соответствующие безрисковому активу и рискованному активу. При этом конкретное расположение портфеля на отрезке прямой зависит от соотношения относительных объёмов инвестирования в безрисковый и рискованный активы.

Достижимое множество портфелей, содержащих два рискованных актива. Предположим, что портфель содержит два рискованных актива и . По аналогии с соотношениями (1.10) и (1.11) получаем

где и – относительные объёмы инвестирования в активы и соответственно; и – МО доходностей активов и соответственно; и – СКО доходностей активов и соответственно и ; – коэффициент корреляции доходностей активов и .

Учитывая, что , из формулы (1.15) получаем соотношения для расчёта относительных объёмов инвестирования в активы и ()

После преобразований соотношений (1.15) и (1.16) получаем уравнение гиперболы вида

где – координата вершины гиперболы по оси ординат

– длина действительной полуоси гиперболы или координата вершины гиперболы по оси абсцисс ;