доходности портфеля как функции
СКО доходности, т.е. . Данная зависимость задана уравнениями (1.8) и (1.9) и двумя условиями
Для анализа достижимых множеств портфелей воспользуемся, во–первых, методами аналитической геометрии, в соответствии с которой приведенные выше первые два уравнения в общем случае описывают кривую второго порядка, в частности гиперболу, заданную в параметрической форме. В некоторых случаях, как показано ниже, гипербола вырождается в точку или отрезок прямой.
Методы аналитической геометрии позволяют определить параметры гиперболы, а также обеспечивают возможность перехода описания достижимого множества портфелей от параметрической формы к более удобной аналитической форме представления зависимости .
Во–вторых, для определения минимального значения СКО доходности портфеля и соответствующих значений объёмов инвестирования воспользуемся известным в математическом анализе методом нахождения экстремума функции с использованием частных производных. В данном случае составляется система из уравнений, которые представляют собой приравненные к нулю частные производные функции
Решения данной системы уравнений относительно переменных с учётом условий и позволяют рассчитать границу достижимого множества и МО доходности портфеля с минимальным значением СКО доходности .
В–третьих, при относительно большом значении для определения достижимого множества целесообразно использовать численные методы, что обусловлено чрезмерно громоздкими конечными формулами, которые выводятся в рамках аналитической геометрии. Численные методы предполагают определение достижимого множества портфеля, например, путём последовательного перебора всех возможных сочетаний объёмов инвестирования в каждый актив при этом большое количество арифметических операций предопределяет необходимость использования вычислительной техники.
Методологически оправданным (от простого к сложному) является анализ специфики достижимых множеств портфелей как комбинации:
безрискового актива с рискованным активом;
двух рискованных активов;
трёх рискованных активов;
рискованных активов;
безрискового актива и рискованных активов;
рискованных активов и активов с фиксированной доходностью.
При анализе инвестиционных качеств перечисленных вариантов комбинаций активов будем полагать, что возможности инвестора ограничены собственным капиталом.