Тензоры. Что может быть проще? - страница 10

Научившись использовать ковектор как функцию и узнав о линейности таковой, давайте попробуем опять понять её геометрический вид, забыв о том, что нам уже известно.

Функция в двух измерениях и способ картографов.

Мы знаем, что обычные векторы мы можем представить в виде стрелок. Но для визуализации функций это не очень удобно. Для геометрической интерпретации конкретного ковектора логично было бы выбрать какой-то один из них и позволить ему воздействовать на любые вектора. Так по деяниям его поймём суть его… Итак, фиксируем ковектор с конкретными компонентами в виде чисел, например [2;1]. А в качестве вектора берём столбец с двумя компонентами x и y, которые могут меняться. Таким образом, мы смотрим на ковектор как на функцию двух этих переменных (x и y). Как мы можем визуализировать функцию от двух переменных, которая выдаёт одно число? Ну что ж. Это очень похоже на проблему, с которой сталкиваются картографы, когда они хотят передать рельеф местности на двухмерном листе бумаги. Когда у вас есть топографическая карта, то вам в основном нужно показать склоны гор и долины, но только с помощью двух измерений. Вот что в этом случае делают топографы: они берут карту и рисуют на ней кривые с постоянной высотой. Так что, просто взглянув на эту карту, мы понимаем, что когда линии идут часто, то склон более крутой. Там же, где линии менее плотные, там местность более пологая, потому что высота меняется не так быстро. Удобно и наглядно! Правда? Так что давайте возьмём и используем эту идею. Возьмём наш ковектор как функцию и спросим себя, где она равна нолю. Спросить в математике означает просто приравнять к нолю нужное выражение, а потом уже угадать недостающие данные. Приравняв наш ковектор, «скушавший» вектор, к нолю, мы получим уравнение на x и y. Оно линейное, и значит, задаёт на плоскости прямую. Теперь спросим себя, где наша функция равна 1, 2, -1, -2 и всем остальным значениям. В итоге мы получим стопку одномерных поверхностей, прямых! Всё в точности как в нашей прежней геометрической интерпретации!

Построение ковектора в двухмерном случае.

Обратите внимание, поскольку наши стопки увеличиваются вверх и вправо, мы можем добавить сюда маленькие стрелочки, как это делали раньше, указав положительное направления для «линий уровня». Всё вышло так, как мы и предположили в прошлых наших рассуждениях. Но это ещё не все приятности! Мы можем научиться воздействовать ковектором на вектор совершенно без алгебраических вычислений, глядя на их чисто геометрическое взаимодействие.