Тензоры. Что может быть проще? - страница 9

Чисто алгебраически ковекторы удобно обозначать как матрицы-строки. При этом мы складываем и умножаем на числа эти строки фактически так же как и векторы, записываемые матрицами-столбцами.

Итак, на данный момент что мы имеем? У нас есть два типа объектов, имеющих направление. Над ними можно производить операции сложения и умножения на число (скаляр). Векторы при этом меняют длину, а ковекторы – свою «плотность». Векторы изображаются как столбцы из их компонент, а ковекторы – как строки. Глядя на чисто алгебраическую запись этих объектов в виде строк и столбцов, вы можете подумать, что это всё не так уж и сложно. Что это просто перевёрнутые числовые массивы, превращающиеся друг в друга «транспонированием». Верно? Но это оптическая и смысловая иллюзия! Всё же матрицы-строки и матрицы-столбцы – это принципиально разные типы объектов. И вы могли подумать, что они похожи, потому что вы работали с ними в ортонормированном базисе. То есть в базисе, где все базисные объекты имеют единичную длину и перпендикулярны друг другу. И идея преобразования как простого переворачивания строки в столбец и наоборот в таких системах отсчёта действительно верна. В более общем случае абы какого базиса это уже не работает. Но данное наблюдение всё равно даёт нам возможность задуматься о том, не сопоставить ли нам эти объекты друг другу. Вы наверняка умеете перемножать матрицы. И знаете, что умножение строки, стоящей слева, на столбец справа даёт число. Значит, такое взаимодействие ковектора и вектора можно мыслить как отображение двух объектов в один. Или рассматривать ковектор как функцию, которая «съедает» вектор и даёт число. В математике такую «дружбу» называют дуальностью.

Давайте попробуем развить эту идею и посмотреть, что получится. Мы не рассмотрим ковекторы чисто как матрицы-строки, а как функции, «питающиеся» векторами и выдающие число. И уже исходя из этой идеи построим их геометрическую интерпретацию. Если данный подход приведёт к тому же самому геометрическому облику ковекторов, то можно это считать феерическим успехом, а себя – мега-мыслителем!

Ковектор как линейное отображение (функция), берущая вектор и сопоставляющая ему число.

Прежде всего стоит заметить, что ковектор олицетворяет собой линейную функцию. Это весьма удобно. С линейными функциями и операторами крайне просто обращаться. Вынося из-под них множители, не нужно их возводить в какую-то степень или делать ещё более хитрые операции. Проверить это можно непосредственным вычислением в общем виде. Берём сперва складываем вектора, а потом действуем на них ковектором, а потом сперва действуем на оба вектора ковектором и складываем результаты. Значение данного отображения в обоих случаях совпадёт. Так же проверяется и линейность при умножении ковектора на число. Сперва умножаем вектор на число, а затем «съедаем» его ковектором и сравниваем с тем, что получилось при противоположном порядке действий: поглощённый ковектором вектор, после преобразования его в число, умножаем на константу.