Изложение мы начнём с наглядной интерпретации так называемых ковариантных и контравариантных компонент тензоров. Затем увидим, что одним вектором чаще всего не обойтись и что появление тензоров – естественно и неизбежно. Разберём, как можно начать ориентироваться, оказавшись в неведомых мирах непонятной природы, вводя структуру многообразия. Далее увидим тензоры в самых неожиданных местах, таких, например, как стул, на котором вы сидите. Он ведь имеет верх и низ и некую площадь. А значит, обладает ориентированной площадью. Спойлер: полностью антисимметричным тензором. Потом нас ждёт дуальность Ходжа. И нет, это не новый персонаж Marvel, а магическая операция, которая превращает дифференциальные формы в их альтер-эго. Все эти объекты будут возникать у нас естественно и непринуждённо. Привыкнув к ним, мы познакомимся уже с весьма специальными тензорами, носящими имена сопричастных к ним математиков и физиков. Затем познакомимся с группами Ли и тензорами, обитающими в этих мирах. И напоследок заглянем ещё глубже в Варп-геометрии, обнаружив спиноры. Они крутятся на 720 градусов, чтобы вернуться в исходное положение (да, они странные). Но спиноры помогают ввести спин-тензоры, которые тоже у нас вполне по теме. В итоге мы окончательно развенчаем миф о сложности тензорного исчисления и сделаем все его понятия такими же естественными и наглядными, как ваши любимые счётные палочки. И, прочитав эту книгу, вы воскликнете: «Тензоры – что может быть проще?»
Ковариантность и контравариантность
Для покорения космоса человечеству, как это ни странно, нужно было научиться складывать стрелочки. Ещё Архимед, живший в 287—212 годах до нашей эры, складывал силы, действующие на тело, по правилу параллелограмма, то есть интуитивно вводил особые объекты, которые характеризуются не только величиной, но и направлением. Но вот беда: не всё, что кажется стрелочкой и имеет направление, на самом деле ею является. И в этом разделе нам предстоит сделать важный шаг к пониманию тензоров – понять, что есть два фундаментальных объекта, притворяющихся для неопытного человека векторами. Речь идёт о векторах собственной персоны, знакомых нам ещё со школы, и новой штуковине – ко-векторах.
Вектор – это не просто стрелка на плоскости, а настоящий герой в мире математики и физики. Он помогает нам описывать движение, силы и даже сложные явления в природе. Но что же такое вектор в самом простом понимании? Это направленный отрезок, который имеет как величину, так и направление. В повседневной жизни мы сталкиваемся с векторами постоянно: от стрел на картах до GPS-координат, которые помогают нам не заблудиться в большом городе. Векторы – это не просто абстракция, а мощный инструмент, который помогает нам ориентироваться в пространстве и времени.