Тензоры. Что может быть проще? - страница 4

Для того чтобы оценить положение одного вектора относительно другого, вводят такую штуку, как скалярное произведение. По своей сути это проекция (тень) одного вектора на направление другого, умноженная на длину этого другого. Зачем проецируемый вектор умножать на длину второго, почему нельзя просто спроецировать? Дело в том, что с практической точки зрения хочется сделать эту операцию симметричной, и к тому же простое проецирование на направление, заданное вторым вектором, можно устроить скалярным умножением на единичный вектор. А в практических целях зачастую нужно ещё учитывать влияние второго вектора, на который мы проецируем первый. Также скалярное произведение вектора на самого себя даёт квадрат его длины. Длину вектора часто называют его модулем. Если скалярное произведение векторов равно нулю, то говорят, что они ортогональны (это такой сложный синоним слова «перпендикулярны»). Ортогональность векторов является их особым взаимоположением, крайне полезным и значительно упрощающим многие вычисления.

Скалярное произведение векторов в результате даёт число, равное произведению длины проекции первого вектора на второй и наоборот.

На скалярное произведение можно смотреть и как на свёртку двух векторов. Как на результат их взаимодействия. В последствии мы с вами увидим, как можно вектор прогнать сквозь тензор, также за счёт скалярного произведения уже с ним. Таким образом можно будет узнать, как тензор видоизменяет окружающие явления. Но пока обойдёмся без спойлеров.

Из двух векторов можно породить не только скаляр, но и вектор с помощью уже векторного произведения. Он будет перпендикулярен обоим перемножаемым векторам, а его длина (модуль) будет равна площади параллелограмма, «натянутого» на исходные векторы.

Чтобы узнать направление получаемого вектора, нужно первый множитель будто отвёрткой повернуть ко второму, и куда в этом случае отвёртка будет закручиваться, туда и будет указывать новый вектор.

Само по себе векторное произведение примечательно ещё и тем, что это, пожалуй, первый некоммутативный объект, с которым знакомится человек, начинающий изучать математику. Ведь если переставить в этом произведении множители, то результат будет иметь противоположный знак.

Векторное произведение векторов.

Почему это важно? Потому что это первый раз, когда мозг учащегося осознаёт: порядок имеет значение! До этого он жил в розовых очках коммутативности, где 2+3 = 3+2, а умножение – это сонное чаепитие Алисы в Стране Чудес.