Тензоры. Что может быть проще? - страница 3

В науке и технике векторы играют ключевую роль. Они позволяют моделировать физические процессы, анализировать данные и даже создавать новые технологии. Например, векторы используются в механике для описания движения объектов, в электротехнике для анализа электрических полей и в компьютерной графике для создания реалистичных изображений. Но как же мы можем работать с этими векторами? С ними можно иметь дело как с реальными стрелочками, складывая их по правилу «начало к концу» или по правилу параллелограмма. Их можно удлинять или укорачивать, умножая на число, или даже поворачивать вспять, меняя начало и конец посредством умножения на отрицательные числа. Но можно с векторами работать и в более абстрактном виде. Здесь на помощь приходят компоненты вектора. Что же такое компоненты вектора? Это способ представления вектора в виде набора чисел, которые описывают его величину и направление в определённой системе координат.

Координаты вектора (карандаша) в разных системах. Компоненты разные, но описывают один и тот же объект – карандаш.

Чтобы представить наглядно компоненты вектора, вы можете направить карандаш на дверь. Где у него начало и конец – очевидно. Если же вы теперь выберете три произвольных направления в пространстве, не лежащих на одной прямой, и зададите для каждого из них единицу измерения, то легко сможете составить из получившихся, так называемых базисных векторов, объект, равный вашему карандашу. Сам карандаш имеет фиксированную длину и указывает на дверь. Какие бы три направления вы ни выбирали, вы всё равно сможете ими описать один и тот же карандаш, указывающий на дверь. Это простейшее представление вектора – в виде стрелки или в виде упорядоченной совокупности чисел.

На самом деле, вектор – это нечто более абстрактное. Это сущность, которая обладает направлением и величиной. Как хороший комиксный герой: у него есть суперспособность (величина) и цель в жизни (направление). Важно понимать: вектор – это не просто координаты. Координаты – это всего лишь способ описать вектор, как паспорт для человека. Без паспорта жить сложно, но паспорт – это не вся личность.

В зависимости от ситуации, вектора можно складывать и умножать на числа, как геометрически, так и в компонентах.

Но, имея все координаты векторов в каком-то конкретном базисе, мы можем складывать их уже не как стрелочки, а как упорядоченные массивы чисел. Компоненты векторов принято обозначать как числа в вертикальном столбце. В такой записи их весьма удобно складывать – этаж с этажом. Также при умножении вектора на число умножаются на него все компоненты на каждом этаже массива.