Тензоры. Что может быть проще? - страница 22

Подытожим. Мы столкнулись с ситуацией, в которой одного вектора было мало для описания всех перекосов и растяжений вместе взятых. Но так как трёхмерное пространство – штука тесная, для описания всевозможных напряжений в нём нам хватило введения всего трёх векторов. Эти вектора оказалось возможным упорядочить и объединить в единое целое, записав в виде матрицы. А дальше уже сама математика дала нам возможность извлечь из этой конструкции максимум возможной информации.

Тензор возникает там, где одного вектора мало. Не хватает одного вектора – возьми больше! Что может быть проще?

В этом разделе мы, опираясь на уже имеющийся опыт работы с тензором, обобщим это понятие и сделаем применимым во всех подобных случаях. Мы научимся изображать тензоры так же наглядно, как вектора, и осмыслим операции над ними столь же естественно, как это делали раньше.

Вектора нам знакомы уже давно и весьма интуитивны. Как только вы видите что-то, что имеет направление, вы можете описать это вектором. Но как понять, что перед вами более сложный объект? С механическим напряжением нам пришлось повозиться. Возникает вопрос: «Есть ли более простые критерии, говорящие о том, что мы имеем дело с тензором? Чтобы так же, как и с векторами, было всё легко и сразу понятно».

Да. Понять, что перед вами тензор, очень легко! Нужно вспомнить, что он является оператором-превращателем. Он берёт один вектор и превращает его в другой, имеющий, возможно, иное направление.

Давайте обратимся к физике и посмотрим, какие в ней есть подобные величины. Если мы вспомним о векторе импульса и о том, что он равен скорости, умноженной на массу (и иногда на релятивистский коэффициент), то поймём, что масса – это просто число. Коэффициент пропорциональности, если угодно., потому как вектор импульса и скорости всегда сонаправлены.

Теперь представим себе спутник, летающий где-то в небесах. Его скорость и импульс так же всегда сонаправлены. Но у вращающегося тела помимо импульса есть ещё и момент импульса. Он равен моменту инерции, умноженному на угловую скорость вращения. Спутник мы можем вращать вокруг разных осей. А значит, момент инерции относительно этих осей будет разным. Поэтому даже если спутник вращается с одинаковой по модулю угловой скоростью в обоих направлениях, из-за разной величины момента инерции его угловой момент будет разным. В одном случае он будет больше, в другом меньше. А значит, если сложить их вместе, получится, что результирующий угловой момент не совпадает по направлению с вектором угловой скорости. Это значит, что момент инерции это не число, а такой же превращатель одних векторов в другие – тензор!