Тензоры. Что может быть проще? - страница 23

Момент инерции и проводимость – тензоры.

Признаки видны сразу!

Теперь вспомним закон Ома в векторной форме. Вместо тока I у нас там вектор плотности тока J. Вместо напряжения U у нас вектор напряжённости Е. В самых простых случаях эти два вектора пропорциональны друг другу, и коэффициент пропорциональности именуется проводимостью. Но если перед нами необычный кристалл, то пропорциональность этих векторов нарушается. Ведь в специальных анизотропных кристаллах проводимость может зависеть от направления! Тогда вектор тока и напряжённости уже не будут коллинеарны. В этом случае проводимость уже оказывается тензором.

Так что критерий оказался весьма прост. Видя некое линейное уравнение или закон, посмотрите на его правую и левую части и спросите себя, куда направлены вектора, находящиеся по обе стороны, и совпадают ли они в самом общем случае. Если всегда совпадают, значит, перед вами скалярная величина. Если есть ситуации, где коллинеарность нарушается, значит, перед вами тензор во всей красе и информативности. Тензоры в физике и математике возникают повсюду. Даже обычная деформация – и то тензор! Поэтому настало время сделать то, что так любят математики: абстрагироваться от объектов и описать их на абстрактном языке, алгебраическом и геометрическом наглядном.

Окинув мысленным взором всё, что мы уже поняли, давайте поразмыслим, как всё это можно обобщить. Матрицу (оператор) мы составляли из трёх векторов, и она уже позволяла нам изменять входящие векторы, превращая их в другие, имеющие даже другое направление.

Значит, для описания тензора нам нужно три вектора. Но эти векторы должны быть упорядочены. Хорошо это или плохо? На первый взгляд это может смущать. Но если мы вспомним, что вектор можно представить тремя компонентами, которые суть просто упорядоченный же набор чисел, то сомнения отпадут. Три упорядоченных числа для вектора, три упорядоченных вектора для тензора. Что тут такого?

Глядя на эту иерархическую лестницу, возникает интересная мысль. А давайте упорядоченные числа называть тензором первого ранга, а упорядоченные векторы – тензорами второго ранга. Скаляры же тогда само собой просится назвать тензорами нолевого ранга. Ну и логично предположить, что упорядоченные наборы тензоров второго ранга можно называть тензорами уже следующего – третьего ранга.