Тензоры. Что может быть проще? - страница 24

Ещё один важный момент нужно учесть. Компоненты вектора могут меняться в зависимости от базиса, в котором он рассматривается. Компоненты тензора тоже. Значит, когда мы записываем тензор в виде массива чисел, нужно учитывать, в каком базисе мы рассматриваем этот объект.

Наконец-то! Мы изобразили тензор!

Всё это подводит нас к вполне естественному геометрическому изображению тензоров. Будем называть тензором упорядоченную тройку векторов в некотором базисе. При этом сам рассматриваемый базис тоже упоминать графически и алгебраически. Алгебраически это тоже можно записать в виде набора из упорядоченных базисных и обычных векторов.

Будем называть данные вектора индивидуальными для тензора. Какую они имеют природу? Такую же, как и любой иной объект, имеющий направление и рассмотренный нами ранее. Каждый из индивидуальных векторов тензора может иметь ковариантные и контравариантные проекции на базисные векторы. Будем такие компоненты называть соответственно ковариантными и контравариантными. Но в отличие от вектора, тензор имеет больше свободы, и его можно представить в виде компонент смешанного типа! Один раз ковариантными и один раз контравариантными. Индексов-то два. Значит, один может быть верхним, другой нижним. Могут оба индекса быть внизу или оба наверху. Что в данном случае будет означать, например, двойная ковариантность тензора? Тут всё просто! Если мы базисный вектор увеличим в размере в 2 раза, ковариантные компоненты умножатся на 4. Контравариантные компоненты при аналогичном преобразовании уменьшатся в 4 раза. Если же тензор представлен компонентами один раз ковариантными, один раз контравариантными, то множители в виде 2 и 1/2 скомпенсируют друг друга, и компоненты не изменятся.

Но чтобы более детально говорить о преобразовании компонент, нужно чуть развить наш геометрический формализм. Научиться складывать наши тензоры подобно векторам, умножать на число и разработать иные операции над ними.

Для простоты будем пока работать с тензорами второго ранга в двухмерном пространстве. Там у них будет всего два индивидуальных вектора, и будет очень наглядно видно, что меняется при применении той или иной операции.

Итак, вспомним, что мы умеем делать с векторами? Мы можем их складывать, умножать на число, скалярно умножать друг на друга, проецировать на базисные вектора. Вполне естественно переосмыслить те же самые операции применительно и к тензорам. Нужно только помнить, что тензор – это не число, это нечто ближе к матрице. И, соответственно, имеет значение, с какой стороны мы к нему подходим, особенно в вопросах умножения. Можно ввести скалярное умножение справа и слева, и они будут отличаться!