Тензоры. Что может быть проще? - страница 29

Где встречаются рассмотренные типы тензоров на практике и что дают? В физике и геометрии различные типы тензоров второго ранга играют ключевые роли, отражая специфические свойства систем и упрощая анализ взаимодействий.

Нолевой тензор, все компоненты равны нолю, в физике моделирует отсутствие воздействия (например, нулевой тензор напряжений в покоящейся жидкости). В геометрии он описывает тривиальные преобразования, не меняющие пространство.

Диада и антисимметричный тензор.

Единичный тензор в физике, в частности в механике сплошных сред, характеризует изотропные материалы, где свойства одинаковы во всех направлениях. В геометрии сохраняет векторы неизменными при преобразованиях (тождественное преобразование).

Транспонированный тензор помогает понять, симметричен ли исходный тензор, а также используется в геометрии при анализе двойственности преобразований (например, в преобразованиях координат).

Симметричные тензоры говорят физикам о законах природы. Например, тензор напряжения нам уже поведал, что уважает третий закон Ньютона, так как является симметричным.

Обратные тензоры позволяют обратить переход от преобразованных векторов к исходным.

Ортогональные тензоры в физике и геометрии описывают повороты и отражения (например, преобразования между инерциальными системами отсчёта). В квантовой механике унитарные операторы (аналог ортогональных) сохраняют вероятности.

Антисимметричный тензор в физике, например, кодирует электрические и магнитные поля (правда, в четырёх измерениях). В геометрии описывает бесследовые деформации (например, чистый сдвиг).

Диадные тензоры – это «кирпичики» для построения сложных тензоров. Их некоммутативность отражает зависимость физических эффектов от порядка взаимодействий (например, сила и плечо в моменте). С геометрической точки зрения они кодируют направленные взаимодействия. Например, в механике деформация материала может быть описана как комбинация растяжений и сдвигов, заданных парами векторов. Любой тензор второго ранга можно разложить в сумму диад.

Таким образом, мы видим, что каждый тип тензора кодирует определённый класс взаимодействий (силовые, вращательные, деформационные), что говорит нам о их вездесущем присутствии в нашей жизни.

Давайте сделаем ещё один шаг. Спросим себя, как понять, что перед нами тензор более высокого ранга и как его можно изобразить? Что такое, например, тензор третьего ранга, где с ним можно столкнуться? Наверняка вы в быту уже сталкивались с явлениями, описываемыми этими штуками, если держали в руках пьезовую зажигалку. Когда вы сжимаете некоторые виды кристаллов, их заряды разделяются, создавая электрическое поле. Мы в буквальном смысле выжимаем электричество из кристаллов. Это называется пьезоэлектрическим эффектом. И в значительной степени создаваемое электрическое поле пропорционально силе сжатия или приложенному механическому напряжению. Таким образом, мы получаем уравнение, в котором электрическое поле вроде как с первого взгляда пропорционально электрическому напряжению. И, конечно же, коэффициент пропорциональности называется пьезоэлектрической постоянной. Но присмотритесь внимательно к уравнению и задайтесь вопросом о природе стоящих в нём величин! В левой части у нас вектор, который является тензором первого ранга, а в правой механическое сжимающее напряжение, которое является тензором второго ранга. Так что перед нами уравнение, которое отображает тензор второго ранга на вектор. Так какой же должна быть пьезоэлектрическая постоянная? Подумайте об этом. Она должна брать матрицу и превращать её в вектор. Соответственно, её можно представить как трёхслойный массив чисел. Многомерную матрицу, что ли. То есть она является тензором третьего ранга.